Exp. Gleichung Nr. 2 < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Sa 09.11.2013 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | | [mm] 5^{2x-1}+2^{3x+1}=(5^x)^2+(2^{x-1})^3 [/mm] |
Hallo,
ich habe noch eine weitere Exp.-Gleichung, die mir Kopfzerbrechen bereitet.
Zwar komme ich mit meiner Rechnung in die Nähe des Ergebnisses der Lösung, allerdings scheint irgendwo ein Fehler zu sein.
[mm] 5^{2x-1}+2^{3x+1}=(5^x)^2+(2^{x-1})^3
[/mm]
Zunächst mal die Klammern auspotenzieren.
[mm] 5^{2x-1}+2^{3x+1}=25^2^x+8^{3x-3}
[/mm]
Dann logarithmiere ich.
[mm](2x-1)*lg(5)+(3x+1)*lg(2) = 2x*lg(25)+(3x-3)*lg(8)[/mm]
Dann die Klammern auflösen.
[mm]2x*lg(5)-1*lg(5)+3x*lg(2)+1*lg(2) = 2x*lg(25)+3x*lg(8)-3*lg(8)[/mm]
Dann ordnen.
[mm]2x*lg(5)+3x*lg(2)-2x*lg(25)-3x*lg(8) = 1*lg(5)-1*lg(2)-3*lg(8)[/mm]
x Herausheben:
[mm]x*(2*lg(5)+3*lg(2)-2*lg(25)-3*lg(8)) = 1*lg(5)-1*lg(2)-3*lg(8)[/mm]
Dann dividieren:
[mm] \bruch{1*lg(5)-1*lg(2)-3*lg(8)}{2*lg(5)+3*lg(2)-2*lg(25)-3*lg(8)}=0,721...
[/mm]
Richtig wäre aber 0,747...
Was ist da falsch?
Besten Dank
|
|
| |
|
Hallo drahmas,
> [mm]5^{2x-1}+2^{3x+1}=(5^x)^2+(2^{x-1})^3[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe noch eine weitere Exp.-Gleichung, die mir
> Kopfzerbrechen bereitet.
> Zwar komme ich mit meiner Rechnung in die Nähe des
> Ergebnisses der Lösung, allerdings scheint irgendwo ein
> Fehler zu sein.
>
>
> [mm]5^{2x-1}+2^{3x+1}=(5^x)^2+(2^{x-1})^3[/mm]
>
> Zunächst mal die Klammern auspotenzieren.
>
> [mm]5^{2x-1}+2^{3x+1}=25^2^x+8^{3x-3}[/mm]
>
> Dann logarithmiere ich.
>
> [mm](2x-1)*lg(5)+(3x+1)*lg(2) = 2x*lg(25)+(3x-3)*lg(8)[/mm]
>
> Dann die Klammern auflösen.
>
>
> [mm]2x*lg(5)-1*lg(5)+3x*lg(2)+1*lg(2) = 2x*lg(25)+3x*lg(8)-3*lg(8)[/mm]
>
Das ist schon falsch, denn ein Logarithmusgesetz
[mm]\lg\left(a+b\right)=\lg\left(a\right)+\lg\left(b\right)[/mm]
gibt es nicht.
> Dann ordnen.
>
> [mm]2x*lg(5)+3x*lg(2)-2x*lg(25)-3x*lg(8) = 1*lg(5)-1*lg(2)-3*lg(8)[/mm]
>
> x Herausheben:
>
> [mm]x*(2*lg(5)+3*lg(2)-2*lg(25)-3*lg(8)) = 1*lg(5)-1*lg(2)-3*lg(8)[/mm]
>
> Dann dividieren:
>
> [mm]\bruch{1*lg(5)-1*lg(2)-3*lg(8)}{2*lg(5)+3*lg(2)-2*lg(25)-3*lg(8)}=0,721...[/mm]
>
> Richtig wäre aber 0,747...
>
> Was ist da falsch?
>
Sortiere die Gleichung nach den Basen 2 und 5,
so daß links und rechts jeweils eine Basis steht.
Dann versuche geeignete Faktoren auszuklammern.
> Besten Dank
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 So 10.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Wenn ich nach Basen geordnet habe, habe ich folgendes:
[mm]5^{2x}*5^{-1}-(5^x)^2=(2^x)^3*(2^{-1})^3-2^{3x}*2[/mm]
Dann klammere ich [mm] 5^x [/mm] bzw. [mm] 2^x [/mm] aus.
[mm]5^x*(1^{2}*5^{-1}-1^2)=2^x*(1^3*(2^{-1})^3-1^3*2)[/mm]
Ist das so richtig jetzt?
Wenn ja, wie mache ich dann weiter? Ich würde die Klammern ausrechnen und dann logarithmieren?
Besten Dank…
|
|
|
| |
|
Hallo drahmas,
> Hallo,
>
> danke für die Antwort.
> Wenn ich nach Basen geordnet habe, habe ich folgendes:
>
> [mm]5^{2x}*5^{-1}-(5^x)^2=(2^x)^3*(2^{-1})^3-2^{3x}*2[/mm]
>
> Dann klammere ich [mm]5^x[/mm] bzw. [mm]2^x[/mm] aus.
>
> [mm]5^x*(1^{2}*5^{-1}-1^2)=2^x*(1^3*(2^{-1})^3-1^3*2)[/mm]
>
Das ist nicht richtig,
Du kannst doch auf der linken Seite [mm]5^{2x}[/mm]
und auf der rechten Seite [mm]2^{3x}[/mm] ausklammern.
> Ist das so richtig jetzt?
> Wenn ja, wie mache ich dann weiter? Ich würde die
> Klammern ausrechnen und dann logarithmieren?
>
Der weitere Rechenweg ist genau richtig.
> Besten Dank…
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 So 10.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Okay, danke.
Beim Ausklammern komm ich leider so nicht ganz klar.
Ich hätte dann:
[mm] 5^2^x*(1*5^-^1-5)=2^3^x*(2^?*(2^-^1)^3-1*2)
[/mm]
Was passiert denn, wenn ich [mm] 2^3^x [/mm] ausklammere mit [mm] (2^x)^3?
[/mm]
Wenn ich die Klammer von [mm] (2^x)^3 [/mm] auflöse hätte ich ja [mm]8^3^x[/mm], wohingegen, ich beispielsweise mit [mm] 2^3^x [/mm] * [mm] (2^1) [/mm] = [mm] 4^3^x [/mm] hätte, wenn ich das so anschreibe? Das check ich grad nicht ganz.
Besten Dank!
|
|
|
| |
|
Hallo drahmas,
> Okay, danke.
>
> Beim Ausklammern komm ich leider so nicht ganz klar.
>
Ja, das habe ich gemerkt.
> Ich hätte dann:
>
> [mm]5^2^x*(1*5^-^1-5)=2^3^x*(2^?*(2^-^1)^3-1*2)[/mm]
>
> Was passiert denn, wenn ich [mm]2^3^x[/mm] ausklammere mit [mm](2^x)^3?[/mm]
>
Nun, es gilt: [mm]\left(2^{x}\right)^{3}=2^{x*3}=2^{3*x}[/mm]
Ebenso
[mm]\left(5^{x}\right)^{2}=5^{x*2}=5^{2*x}[/mm]
> Wenn ich die Klammer von [mm](2^x)^3[/mm] auflöse hätte ich ja
> [mm]8^3^x[/mm], wohingegen, ich beispielsweise mit [mm]2^3^x[/mm] * [mm](2^1)[/mm] =
> [mm]4^3^x[/mm] hätte, wenn ich das so anschreibe? Das check ich
> grad nicht ganz.
>
> Besten Dank!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 So 10.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke. Ich dachte ich muss, wenn ich die Klammer potenziere, auch die Basis mit der Hochzahl potenzieren, deswegen…
Stimmt es dann jetzt so?
[mm]5^2^x*(5^-^1-1)=2^3^x*((2^-^1)^3-1*2)[/mm]
[mm]5^2^x*(-\bruch{4}{5})=2^3^x*\bruch{15}{8}[/mm]
Ich komme allerdings immer noch nicht auf das richtige Ergebnis.
Wenn ich rechne:
[mm] \left( \bruch{5^2}{2^3} \right)^x=\bruch{15}{8}*-\bruch{4}{5}
[/mm]
[mm] \left( \bruch{5^2}{2^3} \right)^x=-\bruch{3}{2}
[/mm]
Und das dann logarithmieren will, geht das nicht.
lg [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] : lg [mm] \left( \bruch{5^2}{2^3} \right)
[/mm]
Warum?
Besten Dank
|
|
|
| |
|
Hallo drahmas,
> Hallo,
>
> danke. Ich dachte ich muss, wenn ich die Klammer
> potenziere, auch die Basis mit der Hochzahl potenzieren,
> deswegen…
>
> Stimmt es dann jetzt so?
>
> [mm]5^2^x*(5^-^1-1)=2^3^x*((2^-^1)^3-1*2)[/mm]
> [mm]5^2^x*(-\bruch{4}{5})=2^3^x*\bruch{15}{8}[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]5^2^x*(-\bruch{4}{5})=2^3^x*\left(\blue{-}\bruch{15}{8}\right)[/mm]
> Ich komme allerdings immer noch nicht auf das richtige
> Ergebnis.
>
> Wenn ich rechne:
>
> [mm]\left( \bruch{5^2}{2^3} \right)^x=\bruch{15}{8}*-\bruch{4}{5}[/mm]
>
> [mm]\left( \bruch{5^2}{2^3} \right)^x=-\bruch{3}{2}[/mm]
>
> Und das dann logarithmieren will, geht das nicht.
>
> lg [mm]-\bruch{3}{2}[/mm] : lg [mm]\left( \bruch{5^2}{2^3} \right)[/mm]
>
> Warum?
>
> Besten Dank
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 So 10.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
das Minus hab ich übersehen, oje.
Aber ich hab nach wie vor ein verkehrtes Ergebnis, warum?
Wenn ich log [mm] \bruch{3}{2} [/mm] : log [mm] \bruch{5^2}{2^3} [/mm] rechne, bekomme ich 0,3558… und nicht, wie in der Lösung 0,7452…
Was ist da falsch?
Besten Dank noch mal.
|
|
|
| |
|
Hallo drahmas,
> das Minus hab ich übersehen, oje.
> Aber ich hab nach wie vor ein verkehrtes Ergebnis, warum?
>
> Wenn ich log [mm]\bruch{3}{2}[/mm] : log [mm]\bruch{5^2}{2^3}[/mm] rechne,
> bekomme ich 0,3558… und nicht, wie in der Lösung
> 0,7452…
Tja.
> Was ist da falsch?
Meine Kristallkugel ist gerade zur Reparatur, und der Kaffeesatz ist nicht mehr so informativ, seit ich einen Kaffeevollautomaten habe. Wünschelruten funktionieren nur, wenn die Originalrechnung oder der von Dir verwendete TR vorliegen...
Was hast Du denn gerechnet? Hast Du die Logarithmen vorher vereinfacht? Oder hast Du das so in den TR eingegeben? Welchen? Wie?
> Besten Dank noch mal.
Wir haben [mm] \bruch{\log{\left(\bruch{3}{2}\right)}}{\log{\left(\bruch{5^2}{2^3}\right)}}=\bruch{\log{3}-\log{2}}{2\log{5}-3\log{2}}=\cdots
[/mm]
Rechne erst nach, und dann rechne mal vor, wie Du zu Deinem Ergebnis kommst.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 So 10.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für deine Antwort.
Ich habe exakt so in den TR eingegeben: [mm] \bruch{log\bruch{3}{2}}{log\bruch{5^2}{2^3}}. [/mm] Hab's auch mit [mm] \bruch{log3-log2}{2log5-3log2} [/mm] versucht. Auch Matlab spuckt das gleiche Ergebnis aus.
">> [mm] log(3/2)/log(5^2/2^3)
[/mm]
ans =
0.3558"
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 So 10.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Ergebnis ist zur vorliegenden Aufgabe richtig.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 So 10.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Alles klar, danke.
Dann steht da wohl tatsächlich eine falsche Lösung im Buch.
![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]")
Schöne Grüße
|
|
|
|
