Exp.Fkt. S. 43 Nr. 25 < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 Do 03.11.2011 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Häufig ist es informativer zu wissen, wie lange es dauert, bis sich eine Bevölkerung verdoppelt hat (Verdopplgs.zeit). Für exponentielles Wachstum kann man durch Ausprobieren recht einfach die Verdopplungszeit zu einem gegebenen prozentualen Wachtum von p% ermitteln.
Ergänze die Tabelle
prozentuales Wachstum Verdopplgs.zeit in Jahren
1%
2%
3%
4%
5%
10%-------------------------------------------7,3
20%
25% |
Hallo,
ich hatte diese Aufg. vor 1 oder 2 Jahren schon mal hier gestellt u. auch eine lange Antw. bekommen, die ich nun nach x-fachen lesen u. studieren nun so beurteile: Sie löst die Aufg. gar nicht, sondern erklärt das Grundsätzliche am Expoentiellen:
f(x)= [mm] a*b^x
[/mm]
Bevölkerg. nach 1 J. [mm] f(1)=a*1,01^1
[/mm]
Bevölkerg. nach 1 J. [mm] f(2)=a*1,01^2
[/mm]
Bevölkerg. nach 1 J. [mm] f(3)=a*1,01^3 [/mm] usw.
Aber wie bin ich bisher die Aufg. angegangen:
1/100 = 0,01
0,01 +1, weil Wachstum => b=1,01
in 7,3 J. hat sich Bevölkerg. verdoppelt, heißt
2a [mm] =a*1,01^{7,3}
[/mm]
Leider kann man a nicht ermitteln, sondern stellt so nur fest, dass diese aufgestellte Gleichg. richtig ist, nämlich 2=2
Warum stehen in der Tab. immer unterschiedl. Prozentangaben, ich kann doch nicht ständig ein anderes b haben.
Selbst, wenn der y-Wert in % angegeben ist, dann kann ich doch 3-Satz auch nicht anwenden.
Ich habe null Ahnung, wie man diese blöde Aufg.stellg. lösen könnte.
Einer von euch?
Kann aber leider erst morgen hier wieder gucken.
DANKE schon mal vorab.
Gruß
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Do 03.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast jeweils folgende Funktion für den Bevölkerungszuwachs:
[mm] f(t)=a_{0}\left(1+\frac{p}{100}\right)^{t}
[/mm]
(Vergleiche das mal mit der Zinseszinsformel)
[mm] a_{0} [/mm] ist die Bevölkerung zum Zeitpunkt t=0
p das Wachstum pro Jahr.
Vor die Verdoppelungszeit musst du für jedes der gegebenen p folgende Gleichung ausrechnen.
[mm] 2a_{0}=a_{0}\left(1+\frac{p}{100}\right)^{t}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow 2=\left(1+\frac{p}{100}\right)^{t}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow t=\log_{\left(1+\frac{p}{100}\right)}(2)
[/mm]
Und es gilt:
[mm] t=\log_{\left(1+\frac{p}{100}\right)}(2)
[/mm]
[mm] =\frac{ln(2)}{\ln(\left(1+\frac{p}{100}\right)}
[/mm]
Anstelle des [mm] \ln [/mm] kannst du aber auch den Zehnerlogarithmus (oder jeden anderen Logarithmus, den dein Taschenrechner ausrechnen kann) nehmen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Marius,
> [mm]=\frac{ln(2)}{\ln(\left(1+\frac{p}{100}\right)}[/mm]
So dicker Klumbatsch ist abschreckend, aber ich glaube ich kriege das hin.
Hatte mich vor ein paar Wochen schon mal mit den Logarithmen befasst (geübt), guter Zeitpunkt, dass nun zu wiederholen (sonst ist es weg u. war umsonst).
So, aber wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, handelt es sich nicht um ein u. dieselbe Bevölkerung, die hier betrachtet wird, sondern jedesmal um eine andere. Wenn ja, dann ist es ja richtig, dass man immer ein anderes b hat.
Ich mach das mal u. dann melde ich mich nochmal u. sage Bescheid,w as draus geworden ist. Vielleicht klärt sich alles von allein.
Schönes Wochenende dir u. vielen DANK
Sabine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Giraffe |
Es handelt sich in der Tab. also um 7 verschiedene Bevölkerungen, wie ich es am Anfang gefragt, aber mir nicht vorstellen konnte.
Ist mir aber nicht besonders verständlich, warum es interessant sein sollte, wie es in der Aufg. heißt: "Häufig ist es informativer zu wissen, wie lange es dauert, bis sich eine Bevölerung verdoppelt hat."
Blöde Aufgabenstellung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Sa 05.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Im Alltag sind oft die Verdoppelungs bzw. Halbwertzeiten interessant. Man kann sich z.B überlegen, wann sich ein Kapital verdoppelt oder sich die radioaktive Substanzen halbieren.
Also sind es in der Tat Angaben über das Wachstum verschiedener Bevölkerungen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:59 Sa 05.11.2011 | | Autor: | Giraffe |
nagut
okey
Und übrigens, dass mit dem großen Klumbatsch war
Quatsch, das war pippi einfach.
Ich DANKE dir!!!
Gruß
Sabine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Sa 05.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo marius
bibt es wirklich "Bevöklerungswachstümer" ![[angst]](/images/smileys/angst.gif "[angst]")
in sorge leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Sa 05.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Man (oder frau) kann oft besser in Verdopplungen denken, als in %
zBsp: bei einer Inflationsrate von 10% verdoppeln sich die Preise in 7 Jahren, heisst bei nicht steigendem lohn kann ich mir in 7 Jahren ur noch halb soviel leisten? bei einer Inflationsrate von 3% kostet in 23 Jahren alles doppelt so viel!
Falls sich die Weltbevölkerung von jetzt 7 milliarden mit 3% vermehrt haben wir in 23 Jahren doppelt so viel, wenn sich die Nahrungsproduktion nur um 2& vermehrt dauert es aber 35 Jahre, bis sie sich verdoppelt.
Die meisten leute können sich unter einer verdoppplung in 23 Jahren mehr vorstellen als unter 3% Wachstum
Zur momentanen Krise; Wenn die Griechen 6% für ihre staatsschulden zahlen müssen, und es nich schnell zurückzahlen können sind die Schulden in 9 jahren doppelt so hoch! usw. findest du das alles nicht auch einfacher zu sehen als die %?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 So 06.11.2011 | | Autor: | Giraffe |
Hallo leduart,
ich habe zu Hause "stumpfsinnig" das jeweilige p in die "Verdopplungs-Formel" eingesetzt u. ausgerechnet.
Weil das zu tun war u. dass die Aufg. war, nicht weil ich meinte, dass ich das noch üben müsste.
Und dann die Überraschung:
Bei 1% Wachstum dauerts ca. 70 J. bis sich die Bevölkerg. verdoppelt hat.
Das war noch nicht so besorgniserregend.
Aber das hat sich mit Zunahme von p tierisch (exponentiell?) gesteigert, denn, wenn p nur 3%, dann dauerts nur ca. 23 J. bis sich die Bevölerung verdoppelt hat. Und 23 J. sind eigentl. nix.
Aber eine Bevölkerung, die sich verdoppelt hat ist schon in allerlei Hinsicht ein Problem. Ein großes Problem noch, wenn es sich um besonders viele Menschen handelt, die sich verdoppelt haben.
Bei 20% sind es nur 3,8 Jahre.
Mein Gott u. dann hat mir "die Aufg." Angst u. Bange gemacht, weil ich an Hunger in der 3.ten Welt u. die Bevölkerungszuwächse in Afrika dachte.
Wer mal hungern musste ist traumatisiert. Und dann gibt es noch nicht einmal eine Lösung dieses Problems. Im Gegenteil, alles wird noch schlimmer u. es werden noch mehr Menschen wegen Hunger sterben. Wie traumatisch, wenn eine Mutter ihr Kind verliert; wenn ihr alle Kinder nacheinander nur so wegsterben. Grausam. Und das hauptsächl. deswegen, weil es uns in den Industrieländern soooooo gut geht. Abartig u. irgendwie pervers.
Was ich sagen will: Wie gut, dass ich die Aufg. schön "stumpfsinng" gerechnet habe, sonst wäre mir das mit der Bevölkerungsexplosion nicht aufgefallen. Also, klar macht es Sinn mit Verdopplungszeiten, bzw. Halbwertzeiten zu hantieren.
Aber das, was du da alles noch für Beispiele anführst .......
oje oje
Die Aufg. ist also gar nicht blöd, im Gegenteil.
Leduart, danke dir, dass du das sooooooo deutl. nochmal formuliert hast.
Gruß
Sabine
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