Existieren Lineare Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Mi 03.12.2008 | | Autor: | dennschu |
| Aufgabe | Existieren lineare Abbildungen f : [mm] \IR^{3} \to \IR^{2} [/mm] mit
1. f((0, 1, 1)) = (−1, 2), f((1, 0, 1)) = (1, 2), f((1, 1, 0)) = (6, 2),
2. f((1, 1, 0)) = (4, 5), f((0, 1, 1)) = (−1, 0),
3. f((1, 1, 0)) = (4, 5), f((0, 1, 1)) = (−1, 0), f((2, 0,−2)) = (1, 0)?
Falls ja, geben Sie jeweils eine solche Abbildung und deren Matrix M(f) an, falls nein, bitte begründen Sie dies. |
Hallo, wir haben diese Aufgabe zu bearbeiten, aber ich habe keine Ahnung was ich da überhaupt machen soll. Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben, was ich da machen und vor allem wie ich diese Aufgabe lösen soll.
MfG Dennis
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Mi 03.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.Du weisst doch, welche Bed. eine lineare Abb. erfüllen muss.
2. sie soll nicht nur linear sein, sondern auch ne Abb. von [mm] R^3 [/mm] nach [mm] R^2 [/mm] sein. von wieviel Vektoren aus [mm] R^3 [/mm] musst du dazu mindestens ein Bild haben?
3. wenn du das Bild von einigen vektoren aus [mm] R^3 [/mm] hast, welche Bed. sollten die erfüllen?
Mit den tips solltest du ein Stück Fortschritt machen, wenn dann noch Unklarheit besteht frag wieder.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Mi 03.12.2008 | | Autor: | dennschu |
1. Die Bedingungen für eine lineare Abbildungen sind:
L(x + x') = L(x) + L(x')
L(rx) = r [mm] \* [/mm] L(x)
2. Müssen das 3 sein? Ich kann mir das nur schlecht vorstellen.
3. Die Vektoren sollten linear unabhängig sein.
Aber wie komm ich von den gegebenen Vektoren zu einer lin. Abbildung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Mi 03.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Wenn du wie in 1 das Bild von 3 lin unabh. Vektoren hast
(Das musst du natürlich erst zeigen!), kannst du auch das Bild der Standardeinheitsvektoren finden, weil du ja die Einheitsvekt aus den gegebenen kombinieren kannst. Die Abbildungsmatrix besteht dann in ihren Spalten aus den Bildern der Einheitsvektoren.
2.Wenn du nur das Bild von einem oder 2 Vektoren kennst, wie soll man dann das Bild eines davon lin unabhängigen dritten Vektors finden?
Gruss leduart
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> Existieren lineare Abbildungen f : [mm]\IR^{3} \to \IR^{2}[/mm] mit
> 1. f((0, 1, 1)) = (−1, 2), f((1, 0, 1)) = (1, 2),
> f((1, 1, 0)) = (6, 2),
> 2. f((1, 1, 0)) = (4, 5), f((0, 1, 1)) = (−1, 0),
> 3. f((1, 1, 0)) = (4, 5), f((0, 1, 1)) = (−1, 0),
> f((2, 0,−2)) = (1, 0)?
> Falls ja, geben Sie jeweils eine solche Abbildung und
> deren Matrix M(f) an, falls nein, bitte begründen Sie
> dies.
Hallo,
lineare Abbildungen sind ja durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.
Sobald bei einer linearen Abbildung mit Definitionsbereich [mm] \IR^3 [/mm] also die Werte auf einer Basis (und auf keinem weiteren Vektor) angegeben sind, weißt Du, daß solch eine Abbildung existiert. Dies ist bei 1. der Fall.
Wie leduart Dir schon gesagt hat, ist es nun Deine Aufgabe, die Funktionswerte für die Standardvektoren zu berechnen, diese bilden die Einträge der darstellenden Matrix.
Schauen wir nun 2. an. was haben wir da? Funktionswerte für lediglich 2 linear unabhängige Vektoren. damit ist die Abbildung natürlich noch nicht eindeutig bestimmt.
Das ist aber hier auch nicht die Frage, sondern: existiert so eine lineare Abbildung?
Klar existiert die: man ergänzt die beiden Vektoren die [mm] \IR^3 [/mm] zu einer Basis und weistdiesem ergänzten Vektor irgendeinen Funktionswert zu, gerade den, auf den man im Moment Lust hat.
Schon liegt damit eine lineare Abbildung fest, die die vorgebenen bedingungen erfüllt. Weiergeht's jetzt wie in 1.
Zu 3.:
Hier ist die Situation anders. Du hast Funktionswerte für drei Vektoren angegeben, aber diese sind nicht linear unabhängig.
Man sieht ja schnell, daß man den dritten aus den beiden anderen Linearkombinieren kann.
Nun stellt sich die Frage: paßt der Funktionswert des dritten Vektors? Folgt er der Linearitätsbedingung? Dies mußt Du herausfinden.
Gruß v. Angela
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