Existenzsatz für Nullstellen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 So 25.06.2006 | | Autor: | Wapiya |
| Aufgabe | | Geg.: B eine Kreisscheibe um c mit B einschließlich Rand ganz in D, f holomorph in D und [mm] \min_{z \in Rand von B}|f(z)| [/mm] > |f(c)|. Dann hat f eine Nullstelle in B. |
Der Beweis fängt folgendermaßen an: Angenommen f wäre ohne Nullstelle in B, dann wäre f auch ohne Nullstelle in einer offenen Umgebung U [mm] \subset [/mm] D von B* (mit B* der Abschluss von B, also B + Rand).
Und ich denke mir warum ist das denn so? Immerhin gilt doch:
B [mm] \subset [/mm] B* [mm] \subset [/mm] D
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Guten Morgen!
Mal sehen (meine Funktionentheorie ist zwar nicht mehr [war sie das je?  ] die fitteste, aber vielleicht klappt's ja trotzdem):
f ist holomorph, also reell-analytisch.
Laut Cauchy-Taylor-Entwicklungssatz gilt doch für eine reell-analytische Funktion g: g(z) = 0 => [mm] \exists [/mm] eine o.B.d.A. kugelförmige Umgebung [mm] U_{r}, [/mm] mit (genügend kleinem) Radius r, von z, sodass g(x)=0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in U_{r}, [/mm] oder?
Nachdem laut Beweisanfang jedoch f ohne Nullstelle in B ist, sollte sich doch auch "knapp außerhalb" B, also in einer (hinreichend kleinen) Umgebung von B*, keine Nullstelle von f befinden, da andernfalls f aufgrund obigen Satzes doch eine Nullstelle in B hätte (=> Widerspruch), oder?
Kann sein, dass ich damit komplett daneben liege, aber dann frag' einfach nochmal, okay? 
À bientôt,
jeu blanc.
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