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| Aufgabe | | Sei D={ [mm] x\in\IR|x\ge0 [/mm] }. Zeigen Sie durch die Anwendung der Setigkeitsdefinition 8.3, dass f: [mm] D\to\IR [/mm] mit [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] in allen [mm] z\inD [/mm] stetig ist. Führen Sie dazu einen Existenznachweis von [mm] \delta_\varepsilon [/mm] aus der Definition der Stetigkeit. |
Def: 8.3
Eine Funktion f heißt stetig an der Stelle $ [mm] x_0 \in [/mm] $ D(f), wenn für jedes $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ ein $ [mm] \delta_\varepsilon>0 [/mm] $ derart existiert, dass gilt x $ [mm] \in D(f)\wedge|x-x_0|<\delta_\varepsilon\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. [/mm] $
Wie genau macht man das? Vor allem den Existenznachweis?
Vielen Dank
Katharina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Wie genau macht man das? Vor allem den Existenznachweis?
Du gibst dir ein bel. [mm] x_0 [/mm] aus D und ein bel. [mm] \epsilon [/mm] größer Null vor und gibst dann ein passendes [mm] \delta_{x_0,\epsilon} [/mm] an.
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Ich hab das ganze mal ausprobiert und so sieht das jetzt aus. Es wäre schön wennn mal jemand kurz drüberschauen könnte und guckt ob das so stimmt.
beliebig gewählt: x=2, [mm] x_0=1.99, \delta_\varepsilon=0,1
[/mm]
nach der Def. 8.3 sind nur x zugelassen, für die [mm] |x-x_0|<\delta_\varepsilon [/mm] gilt.
|2-1,99|<0,1
[mm] \Rightarrow|x+x_0|\le|x|+|x_0|\le|x_0+\delta_\varepsilon|+|x_0|
[/mm]
[mm] \le|x_0|+\delta_\varepsilon+|x_0|=2|x_0|+\delta_\varepsilon
[/mm]
mit einsetzen:
[mm] \Rightarrow|2+1,99|\le|2|+|1,99|\le|1,99+0,1|+|1,99|=2 \times [/mm] |1,99|+0,1
Das müsste doch theoretisch bedeuten das [mm] \delta_\varepsilon [/mm] richtig gewählt ist.
Jetzt muss ich nur noch nachweisen das [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] in allen z stetig ist?
Was ist z?
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Hallo anjali251,
> Ich hab das ganze mal ausprobiert und so sieht das jetzt
> aus. Es wäre schön wennn mal jemand kurz drüberschauen
> könnte und guckt ob das so stimmt.
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> beliebig gewählt: x=2, [mm]x_0=1.99, \delta_\varepsilon=0,1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das ist doch nicht beliebig gewählt, du musst ein allgemeines $x_0\ge 0$ hernehmen.
Handle den Fall $x_0=0$ mal separat ab
Dann sei $\varepsilon >0$ beliebig vorgegeben und $x_0>0$
Um das benötigte $\delta$ zu bekommen, schätze den Betrag $|f(x)-f(x_0)|$ ab
$|f(x)-f(x_0)|=|\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|=\left|\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{x_0})\cdot{}\blue{(\sqrt{x}+\sqrt{x_0})}}{\blue{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\right|=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\cdot{}|x-x_0|\le\frac{1}{\sqrt{x_0}}\cdot{}|x-x_0|$
Das soll nun $<\varepsilon$ sein, also $\frac{1}{\sqrt{x_0}}\cdot{}|x-x_0|\overset{!}{<}\varepsilon$
Also $|x-x_0|<\sqrt{x_0}\cdot{}\varepsilon$
Wie kannst du also dein $\delta=\delta(\varepsilon,x_0)$ nun wählen, so dass für alls $|x-x_0|<\delta$ gilt $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ ?
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> nach der Def. 8.3 sind nur x zugelassen, für die
> [mm]|x-x_0|<\delta_\varepsilon[/mm] gilt.
>
> |2-1,99|<0,1
>
> [mm]\Rightarrow|x+x_0|\le|x|+|x_0|\le|x_0+\delta_\varepsilon|+|x_0|[/mm]
>
> [mm]\le|x_0|+\delta_\varepsilon+|x_0|=2|x_0|+\delta_\varepsilon[/mm]
>
> mit einsetzen:
> [mm]\Rightarrow|2+1,99|\le|2|+|1,99|\le|1,99+0,1|+|1,99|=2 \times[/mm]
> |1,99|+0,1
Ich habe keinen Schimmer, was du hier machst? Du setzt offenbar ein konkretes Bsp. ein, du sollst es aber allg. für alle Stellen [mm] $x_0\ge [/mm] 0$ zeigen, da hättest du viel zu tun, wenn du alle Bspe durchgehen würdest 
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> Das müsste doch theoretisch bedeuten das [mm]\delta_\varepsilon[/mm]
> richtig gewählt ist.
> Jetzt muss ich nur noch nachweisen das [mm]f(x)=\wurzel{x}[/mm] in
> allen z stetig ist?
> Was ist z?
Ich nehme an, das ist das, weas hier die ganze Zeit sinnigerweise mit [mm] $x_0$ [/mm] bezeichnet wird
LG
schachuzipus
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