Existenzbeweis < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:45 Sa 05.06.2010 | | Autor: | shadow |
| Aufgabe | | Es sei [mm] K:{[0,1]}^2 \to \mathbb [/mm] R stetig mit [mm] \lvert [/mm] K(x,y) [mm] \rvert [/mm] < 1 für alle x,y [mm] \in [/mm] [0,1]. Man zeige: Es gibt ein stetiges f:[0,1] [mm] \to \mathbb [/mm] R mit f(x) + [mm] \int\limits_{0}^1 {K(x,y)f(y)}\,dy [/mm] = [mm] e^{x^2} [/mm] |
Mein erster Gedanke zu dieser Aufgabe war, den Mittelwertsatz der Integralrechnung anzuwenden. Mit dem kam ich dann auf
f(x) + [mm] \int\limits_{0}^1 {K(x,y)f(y)}\,dy [/mm] = f(x) + [mm] f(1)K(x,\xi) [/mm]
Stimmt das so? Und wenn ja, wie muss ich jetzt f definieren? Wie kann ich [mm] \vert [/mm] K(x,y) [mm] \vert [/mm] < 1 verwenden?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:56 So 06.06.2010 | | Autor: | max3000 |
Hallöchen.
Also ich hätte ja folgende Idee:
Du stellst die Gleichung so um:
[mm] f(x)=e^{x^2}-\int_0^1{K(x,y)*f(y)dy}
[/mm]
Das ist dann eine Fixpunktgleichung für das gesuchte f.
Das f soll auf [0,1] stetig sein, das heißt es ist ein [mm] $f\in [/mm] C[0,1]$ gesucht und es ist bekannt, dass die stetigen Funktionen auf einer kompakten Menge C[0,1] einen Banachraum bilden.
Das riecht mir alles sehr nach Banachscher Fixpunktsatz.
Du musst jetzt noch zeigen, dass dein Funktional T(f) kontrahierend ist, also dass gilt
[mm] $|T(f)-T(g)|\le L\|f-g\|$
[/mm]
für ein [mm] L\in(0,1). [/mm] Das ist ja die Kontraktion. Da wirst du wahrscheinlich die Eigenschaft |K(x,y)|<1 benötigen damit das passt. Ansonsten die üblichen Schritte: Betragsstriche ins Integral mit reinziehen, das ganze durch das Maximum von K abschätzen und raus aus dem Integral und so weiter.
Dann natürlich noch zeigen, dass T wirklich in C[0,1] abbildet, damit der Fixpunktsatz auch anwendbar ist. Das mit Stetigkeit des Integrals und Stetigkeit von [mm] e^x [/mm] und dann eventuell noch die Definitionsbereiche überprüfen. Die genauen Argumente weiß ich aber jetzt auch nicht. Mit etwas Recherche in guten Analysis-Grundlagenbüchern wirst du da sicherlich etwas finden.
Hoffe damit konnte ich dir etwas weiter helfen.
Schönen Gruß
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 So 06.06.2010 | | Autor: | shadow |
Vielen Dank erstmal für deine Antwort!
Ich komme aber beim Beweis nicht mehr weiter:
Ich muss ja zeigen, dass d(T(x),T(y)) [mm] \le \lambda \Vert {f-g}\Vert \lamba \in [/mm] (0,1).
Bisher habe ich: d(T(x),T(y)) [mm] \le \lambda \integral_{0}^{1}{\Vert {g(y) - f(y)}\Vert dy} [/mm] wobei [mm] \lambda [/mm] = [mm] \sup \{\vert K(x,y) \vert ~ | x,y \in [0,1] \}
[/mm]
Stimmt das? Wie muss ich jetzt weiter abschätzen um zu zeigen, dass es kontrahierend ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 So 06.06.2010 | | Autor: | max3000 |
Nimm erstmal keine Metrik, sondern die Norm, da es hier im Banachräume (vollständige normierte Räume) geht.
Also ich würde es so machen:
Zunächst einmal die Definition der Norm auf C[0,1] ausschreiben.
[mm] \|T(f)-T(g)\|=sup_{x\in[0,1]}|\int_0^1K(x,y)(f(y)-g(y))dy|
[/mm]
Das ist jetzt schon etwas umgestellt und sollte Ausgangspunkt deiner Abschätzungen sein.
Es gibt eine Regel, die besagt dass man die Betragsstriche unters Integral ziehen kann, also
[mm] $\le sup_{x\in[0,1]}\int_0^1|K(x,y)||f(y)-g(y)|dy$
[/mm]
Dann ist |K(x,y)| sowieso kleiner als 1, also gilt:
[mm] $\le sup_{x\in[0,1]}\int_0^1|f(y)-g(y)|dy$
[/mm]
Und das dann mit der Norm im C[0,1] abschätzen. Wir wollen ja auf die Supremumsnorm kommen. also können wir einfach [mm] |f(y)-g(y)|\le\|f-g\| [/mm] abschätzen und oben eingesetzt kommen wir da auf
[mm] $\le sup_{x\in[0,1]}\int_0^1\|f-g\|dy$
[/mm]
Und dann Hängt das ganze nicht mehr von y ab, also raus aus dem Integral
[mm] =sup_{x\in[0,1]}\|f-g\|\int_0^1dy
[/mm]
[mm] =\|f-g\|
[/mm]
Davor steht natürlich unsichtbar eine 1 als Konstante und damit haben wir die Kontraktion auch schon gezeigt.
Das [mm] sup_{...} [/mm] hätte man eigentlich schon ab dem Teil weglassen können, wo man das K(x,y) rausschmeißt. Danach kommt x eigentlich nicht mehr vor.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:12 Mo 07.06.2010 | | Autor: | felixboes |
Hallo
statt
> [mm]\le sup_{x\in[0,1]}\int_0^1|f(y)-g(y)|dy[/mm]
muss
[mm]< sup_{x\in[0,1]}\int_0^1|f(y)-g(y)|dy[/mm]
sonst kann man den Kontraktionssatz nicht anwenden.
Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:12 Mo 07.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Nimm erstmal keine Metrik, sondern die Norm, da es hier im
> Banachräume (vollständige normierte Räume) geht.
>
> Also ich würde es so machen:
>
> Zunächst einmal die Definition der Norm auf C[0,1]
> ausschreiben.
>
> [mm]\|T(f)-T(g)\|=sup_{x\in[0,1]}|\int_0^1K(x,y)(f(y)-g(y))dy|[/mm]
>
> Das ist jetzt schon etwas umgestellt und sollte
> Ausgangspunkt deiner Abschätzungen sein.
> Es gibt eine Regel, die besagt dass man die Betragsstriche
> unters Integral ziehen kann, also
>
> [mm]\le sup_{x\in[0,1]}\int_0^1|K(x,y)||f(y)-g(y)|dy[/mm]
>
> Dann ist |K(x,y)| sowieso kleiner als 1, also gilt:
>
> [mm]\le sup_{x\in[0,1]}\int_0^1|f(y)-g(y)|dy[/mm]
>
> Und das dann mit der Norm im C[0,1] abschätzen. Wir wollen
> ja auf die Supremumsnorm kommen. also können wir einfach
> [mm]|f(y)-g(y)|\le\|f-g\|[/mm] abschätzen und oben eingesetzt
> kommen wir da auf
>
> [mm]\le sup_{x\in[0,1]}\int_0^1\|f-g\|dy[/mm]
>
> Und dann Hängt das ganze nicht mehr von y ab, also raus
> aus dem Integral
>
>
> [mm]=sup_{x\in[0,1]}\|f-g\|\int_0^1dy[/mm]
> [mm]=\|f-g\|[/mm]
>
> Davor steht natürlich unsichtbar eine 1 als Konstante und
> damit haben wir die Kontraktion auch schon gezeigt.
Unfug !!!
Siehe: https://matheraum.de/read?i=690443
FRED
> Das [mm]sup_{...}[/mm] hätte man eigentlich schon ab dem Teil
> weglassen können, wo man das K(x,y) rausschmeißt. Danach
> kommt x eigentlich nicht mehr vor.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Di 08.06.2010 | | Autor: | max3000 |
>
> Unfug !!!
>
> Siehe: https://matheraum.de/read?i=690443
>
>
> FRED
Tolle Beweisführung und danke für die exakte Korrektur.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:10 Mo 07.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank erstmal für deine Antwort!
>
> Ich komme aber beim Beweis nicht mehr weiter:
> Ich muss ja zeigen, dass d(T(x),T(y)) [mm]\le \lambda \Vert {f-g}\Vert \lamba \in[/mm]
???? Besser: d(T(f),T(g)) [mm] \le \lambda \Vert {f-g}\Vert [/mm] mit [mm] \lambda \in [/mm] =(0,1)
> (0,1).
> Bisher habe ich: d(T(x),T(y)) [mm]\le \lambda \integral_{0}^{1}{\Vert {g(y) - f(y)}\Vert dy}[/mm]
> wobei [mm]\lambda[/mm] = [mm]\sup \{\vert K(x,y) \vert ~ | x,y \in [0,1] \}[/mm]
>
> Stimmt das? Wie muss ich jetzt weiter abschätzen um zu
> zeigen, dass es kontrahierend ist?
Da K stetig ist, gilt: [mm]\lambda[/mm] = [mm]\sup \{\vert K(x,y) \vert ~ | x,y \in [0,1] \}= \max \{\vert K(x,y) \vert ~ | x,y \in [0,1] \}<1[/mm]
FRED
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