Existenz von Wurzel x < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:29 Di 06.11.2007 | | Autor: | Wuffel |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass es für jede reelle Zahl $a [mm] \ge [/mm] 0$ eine Quadratwurzel gibt, d.h. es existiert eine reele Zahl b mit der Eigenschaft b² = a. Hinweis: Betrachten Sie die Menge
$ S = [mm] \{x \in \IR | 0 \le x, x² \le a\}.$ [/mm] |
Ich habe jetzt wie folgt einen Beweis geführt, und würde gerne wissen ob man das so machen kann, und wenn nicht, an welchen Stellen ich Denkfehler habe, oder eine Formalität übersehen habe. Vielen Dank schonmal :) Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Beweis:
Diese Menge ist offensichtlich nach oben beschränkt, da $x² [mm] \le [/mm] a$ sein soll. Nach dem Vollständigkeitsaxiom existiert also ein Supremum: sup S = b
Wir versuchen nun b genauer zu beschreiben:
Da $x [mm] \in \IR$ [/mm] ist, ist das maximale Element von S durch $x² = a$ gegeben. Nun liegt es nahe der oberen Schranke b die Eigenschaften $b² = a$ und $b [mm] \ge [/mm] 0 $ zuzuordnen. Einsetzen in $x² [mm] \le [/mm] a$ liefert:
[mm] $x^2 \le b^2$ [/mm] da $ x [mm] \ge [/mm] 0 $ und $ b [mm] \ge [/mm] 0 $ folgt: $x [mm] \le [/mm] b$
[mm] \Rightarrow [/mm] b ist mit $ [mm] b^2 [/mm] = a $ und $ b [mm] \ge [/mm] 0 $ eine obere Schranke.
Bleibt zu zeigen, dass für [mm] $\beta [/mm] < b $ immer ein $ [mm] x_{b} \in [/mm] S $ existiert, dass größer als [mm] \beta [/mm] ist. Also dass [mm] \beta [/mm] keine obere Schranke ist:
[mm] $\forall \beta [/mm] < b [mm] \exists x_{b} \in [/mm] S: [mm] \beta [/mm] < [mm] x_{b} [/mm] $ (1)
Da wir als Eigenschaft für b: $ b² = a $ gewählt haben, wählen wir analog [mm] $\beta^2 [/mm] = a $
aus (1) folgt: $ [mm] \beta^2 [/mm] < [mm] x_{b}^2 [/mm] $
Einsetzen liefert: $ a < [mm] x_{b}^2 [/mm] $
Nach der Definition von S ist $ [mm] x^2 \le [/mm] a $. Also ist $ a < [mm] x_{b}^2 [/mm] $ ein Widerspruch.
[mm] \Rightarrow \beta [/mm] ist keine obere Schranke, also ist b mit [mm] $b^2=a [/mm] $ und $ b [mm] \ge [/mm] 0 $ die kleinste obere Schranke.
Nach dem Vollständigkeitsaxiom existiert diese kleinste obere Schranke immer in [mm] \IR. [/mm] Dieses Supremum der Menge S bezeichnet man las Quadratwurzel von a, da wenn man b quadriert a das Ergebnis ist.
[mm] $\Rightarrow \wurzel{a} [/mm] := b $ existiert für alle $a [mm] \in \IR [/mm] $ und $ a [mm] \ge [/mm] 0 $ mit der Eigenschaft $ [mm] \wurzel{a}^2 [/mm] = a = b² $ [mm] \Box
[/mm]
|
|
| |
|
> Zeigen Sie, dass es für jede reelle Zahl [mm]a \ge 0[/mm] eine
> Quadratwurzel gibt, d.h. es existiert eine reele Zahl b mit
> der Eigenschaft b² = a. Hinweis: Betrachten Sie die Menge
> [mm]S = \{x \in \IR | 0 \le x, x² \le a\}.[/mm]
> Ich habe jetzt
> wie folgt einen Beweis geführt, und würde gerne wissen ob
> man das so machen kann, und wenn nicht, an welchen Stellen
> ich Denkfehler habe, oder eine Formalität übersehen habe.
Hallo,
in dem, was Du schreibst, sind wirklich viele wichtige Gedanken versammelt.
Du scheinst unterwegs allerdings den Überblick darüber zu verlieren, was zu zeigen ist:
>
> Beweis:
> Diese Menge ist offensichtlich nach oben beschränkt, da [mm]x² \le a[/mm]
> sein soll.
Ist das sooooo offensichtlich? Ich würde sicherheitshalber eine obere Schranke angeben.
> Nach dem Vollständigkeitsaxiom existiert also
> ein Supremum.
Dies hier ist der allerwichtigste Gedanke im Beweis. Du hältst eine "konkete" Zahl in den Händen, nämlich das Supremum der Menge, dessen Existenz gesichert ist.
Es sei b:=sup S
> Wir versuchen nun b genauer zu beschreiben:
Wir wollen eigentlich eher eine bestimmte Eigenschaft des Supremums zeigen, oder? Nämlich, daß [mm] b^2=a.
[/mm]
>
> Da [mm]x \in \IR[/mm] ist, ist das maximale Element von S
Wer sagt, daß S ein maximales Element hat?
> durch [mm]x² = a[/mm]
> gegeben. Nun liegt es nahe der oberen Schranke b die
> Eigenschaften [mm]b² = a[/mm] und [mm]b \ge 0[/mm] zuzuordnen.
Nein.
Wir haben ein Supremum der Menge gefunden, aber wir können ihm nicht nach unserem Gusto Eigenschaften zuordnen.
Was wir tun können, das ist zeigen, daß es bestimmte Eigenschaften hat.
Also Beh.: es ist [mm] b^2=a.
[/mm]
Das kannst Du zeigen, indem Du annimmst, daß [mm] b^2\not=a [/mm] ist und dies zum Widerspruch dazu führst, daß b kleinste obere Schranke von S ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
