Existenz von Umkehrabbildung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $f: [mm] \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto (x^2-y^2, \quad [/mm] 2xy)$
a) Zeigen Sie dass zu jedem $(x,y) [mm] \neq [/mm] (0,0)$ eine offene Umgebung $U$ von $(x,y)$ gibt, so dass [mm] $f_{|U}$ [/mm] eine stetig diffbare Umkehrabbildung besitzt.
b) Hat [mm] $f_{|\mathbb{R}^2 \backslash(0,0)} [/mm] $ eine Umkehrabbildung?
c) Warum gibt es keine offene Umgebung $U$ von $(0,0)$ derart, dass [mm] $f_{|U} [/mm] $ eine Umkehrabbildung besitzt |
Zu a)
Hier kann ich doch einfach den Satz der Umkehrabbildung anwenden.
Und da dei Determinante der Jacobi Matrix $= [mm] 4x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] > 0 [mm] \quad \forall [/mm] (x,y) [mm] \neq [/mm] (0,0)$ ist, existiert eine stetige diffbare Umkehrabbildung.
b)
ist dass nicht das gleiche wie a)?
c)
Die Determinante der Jacobi Matrix im Nullpunkt ist Null, also nicht invertierbar, also existiert keine Umkehrabbildung.
Verstehe die Umkehrabbildungen noch nicht. Die a) sollte aber stimmen?
Die c) wird nicht so einfach sein wie ich es geschrieben habe, aber wie zeige ich dass keine Umkehrabbildung existiert?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:55 Do 28.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, (x,y) \mapsto (x^2-y^2, \quad 2xy)[/mm]
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> a) Zeigen Sie dass zu jedem [mm](x,y) \neq (0,0)[/mm] eine offene
> Umgebung [mm]U[/mm] von [mm](x,y)[/mm] gibt, so dass [mm]f_{|U}[/mm] eine stetig
> diffbare Umkehrabbildung besitzt.
>
> b) Hat [mm]f_{|\mathbb{R}^2 \backslash(0,0)}[/mm] eine
> Umkehrabbildung?
>
> c) Warum gibt es keine offene Umgebung [mm]U[/mm] von [mm](0,0)[/mm] derart,
> dass [mm]f_{|U}[/mm] eine Umkehrabbildung besitzt
> Zu a)
> Hier kann ich doch einfach den Satz der Umkehrabbildung
> anwenden.
> Und da dei Determinante der Jacobi Matrix [mm]= 4x^2 + 4y^2 > 0 \quad \forall (x,y) \neq (0,0)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ist, existiert eine stetige diffbare Umkehrabbildung.
Genauer: ist $ (x,y) \neq (0,0) $ , so gibt es eine offene Umgebung $ U $ von $ (x,y) $ , so dass $ f_{|U} $ eine stetig diffbare Umkehrabbildung besitzt.
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> b)
> ist dass nicht das gleiche wie a)?
Nein !! In a) wird eine Lokale Aussage gemacht. f ist auf mathbb{R}^2 \backslash(0,0)} nicht injektiv, denn
f(x,y)=f(-x,-y) für alle x,y
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> c)
> Die Determinante der Jacobi Matrix im Nullpunkt ist Null,
> also nicht invertierbar, also existiert keine
> Umkehrabbildung.
Das ist kein Argument !!!!
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> Verstehe die Umkehrabbildungen noch nicht. Die a) sollte
> aber stimmen?
> Die c) wird nicht so einfach sein wie ich es geschrieben
> habe, aber wie zeige ich dass keine Umkehrabbildung
> existiert?
f(-x,0)=x^2=f(x,0)
FRED
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>
> lg
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