Existenz von Lösungen bei DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:56 Di 26.04.2005 | | Autor: | Crispy |
Hallo,
ich habe folgendes Problem mit einer Aufgabe:
Sei [mm]f(t,x)=g(t)h(x)[/mm], [mm]g, h : [a - \epsilon; a + \epsilon] \to \IR[/mm] stetig, [mm]h(t)\not= 0[/mm] für [mm]t \not= a[/mm], [mm]h(a)=0[/mm] und seien die beiden
Integrale [mm]\integral_{a}^{a+\epsilon} {\bruch{du}{h(u)}}[/mm] und [mm]\integral_{a-\epsilon}^{a} {\bruch{du}{h(u)}}[/mm] divergent.
Zeigen Sie, dass die Anfangswertaufgabe
[mm]x'=f(t,x), x(t_0)=a[/mm]
eindeutig lösbar ist.
Ich bin hier leider etwas ratlos. Ich weiß, dass [mm]x'(t_0)=0[/mm] ist und [mm]x'[/mm] vermutlich auch nur da 0 ist.
Mir ist aber unklar welche Rolle das [mm]g(t)[/mm] und die Divergenz der beiden Integrale (noch dazu von [mm]\bruch{1}{h(u)}[/mm]) darin spielen?
Danke und Gruss, Crispy
|
|
| |
|
Hallo Crispy,
Eine DGL mit x'=g(t)h(x) ist ja durch Trennung der Veränderlichen lösbar. Nun ist die Frage nach der eindeutigen Lösbarkeit zu klären.
Bsp.:
[mm] x'=2\wurzel{x} [/mm] x(-1)=1
hätte die Lösungen
[mm] x=\begin{cases} t^2 & \mbox{für } t<0 \\ -t^2 & \mbox{für } t\ge 0 \end{cases}
[/mm]
[mm] x=\begin{cases} t^2 & \mbox{für } t<0 \\ 0 & \mbox{für } t\ge 0 \end{cases}
[/mm]
[mm] x=t^2
[/mm]
Also nicht eindeutig lösbar. Anders gesagt wird der Punkt y=0 erreicht ist die eindeutige Lösbarkeit nicht mehr gesichert. Also wären mMn 2 Dinge zu zeigen
1. wenn h(t) [mm] \not= [/mm] 0 dann bringt Trennung der Veränderlichen die eindeutige Lösung
2. Der Punkt h(t)=0 wird nie erreicht
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
|
