Existenz von Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:04 Di 28.07.2015 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | a) Existiert eine holomorphe Funktion f: [mm] \IC [/mm] \ [mm] \pi \IZ [/mm] --> [mm] \IC [/mm] mit exp(f(z))= sin(z) für alle z [mm] \in \IC [/mm] \ [mm] \pi \IZ [/mm] ?
b) Bestimme alle ganzen Funktionen g mit |g(z)| [mm] \le [/mm] |z-2| für alle z [mm] \in \IC [/mm] |
Hallo,
zu a) Es ist ja äquivalent: G ist einfach zusammenhängend <-> Jede nullstellenfreie holomorphe Funktion g: G--> [mm] \IC [/mm] hat einen hol. Logarithmus.
g(z)=sin(z) ist ja holomorph und nullstellenfrei auf [mm] \IC [/mm] \ [mm] \pi \IZ [/mm] . Die Frage ist jetzt nur ob [mm] \IC [/mm] \ [mm] \pi \IZ [/mm] einfach zusammenhängend ist, hier würde ich nein sagen. D.h. es gäbe keine solche Fkt, oder?
zu b) Hier vermute ich den Satz von Liouville. Alle konstanten Funktionen mit c [mm] \le [/mm] 0 und c=1 erfüllen ja die Bedingung.
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> a) Existiert eine holomorphe Funktion f: [mm]\IC[/mm] \ [mm]\pi \IZ[/mm] -->
> [mm]\IC[/mm] mit [mm]e^{f(z)}=[/mm] sin(z) für alle z [mm]\in \IC[/mm] \ [mm]\pi \IZ?[/mm]
> b)
> Bestimme alle ganzen Funktionen g mit |g(z)| [mm]\le[/mm] |z-2| für
> alle z [mm]\in \IC[/mm]
> Hallo,
>
> zu a) Es ist ja äquivalent: G ist einfach zusammenhängend
> <-> Jede nullstellenfreie holomorphe Funktion g: G--> [mm]\IC[/mm]
> hat einen hol. Logarithmus.
>
> g(z)=sin(z) ist ja holomorph und nullstellenfrei auf [mm]\IC[/mm] \
> [mm]\pi \IZ.[/mm] Die Frage ist jetzt nur ob [mm]\IC[/mm] \ [mm]\pi \IZ[/mm] einfach
> zusammenhängend ist, hier würde ich nein sagen. D.h. es
> gäbe keine solche Fkt, oder?
>
> zu b) Hier vermute ich den Satz von Liouville. Alle
> konstanten Funktionen mit c [mm]\le[/mm] 0 und c=1 erfüllen ja die
> Bedingung.
Hallo Trikolon,
in der angegebenen Version ist die Aufgabe nur teilweise lesbar.
Du solltest die TEX-Teile richtig zwischen die entsprechenden
Symbole packen.
LG , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:00 Di 28.07.2015 | | Autor: | Trikolon |
Habe es überarbeitet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Di 28.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> a) Existiert eine holomorphe Funktion f: [mm]\IC[/mm] \ [mm]\pi \IZ[/mm] -->
> [mm]\IC[/mm] mit exp(f(z))= sin(z) für alle z [mm]\in \IC[/mm] \ [mm]\pi \IZ[/mm] ?
> b) Bestimme alle ganzen Funktionen g mit |g(z)| [mm]\le[/mm] |z-2|
> für alle z [mm]\in \IC[/mm]
>
> Hallo,
>
> zu a) Es ist ja äquivalent: G ist einfach zusammenhängend
> <-> Jede nullstellenfreie holomorphe Funktion g: G--> [mm]\IC[/mm]
> hat einen hol. Logarithmus.
>
> g(z)=sin(z) ist ja holomorph und nullstellenfrei auf [mm]\IC[/mm] \
> [mm]\pi \IZ[/mm] . Die Frage ist jetzt nur ob [mm]\IC[/mm] \ [mm]\pi \IZ[/mm] einfach
> zusammenhängend ist, hier würde ich nein sagen.
Da hast Du recht.
> D.h. es
> gäbe keine solche Fkt, oder?
Na, na. Diesen Schluss kannst Du nicht ziehen !
>
> zu b) Hier vermute ich den Satz von Liouville. Alle
> konstanten Funktionen mit c [mm]\le[/mm] 0 und c=1 erfüllen ja die
> Bedingung.
Auf [mm] \IC \setminus \{2\} [/mm] setze [mm] h(z):=\bruch{g(z)}{z-2}. [/mm] h ist holomorph und es ist |h(z)| [mm] \le [/mm] 1 auf [mm] \IC \setminus \{2\}.
[/mm]
h hat also in 2 ene hebbare Singularität (warum ?)
Sei f die holomorphe Fortsetzung von h auf [mm] \IC.
[/mm]
Zeige: f ist auf [mm] \IC [/mm] beschränkt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Di 28.07.2015 | | Autor: | Trikolon |
Wie kann ich Teil a) dann sonst angehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Mi 29.07.2015 | | Autor: | fred97 |
Nehmen wir an, es gäbe eine solche Funktion f.
Dann hat f in den Punkten [mm] $z_k:=k \pi$ [/mm] isolierte Singularitäten. Für einen Widerspruch genügt es, den Punkt [mm] z_0=0 [/mm] zu untersuchen.
Es ist [mm] $|sin(z)|=|e^{f(z)}|=e^{Re(f(z))} \to [/mm] 0$ für $z [mm] \to z_0$
[/mm]
Das bedeutet:
(*) $Re(f(z)) [mm] \to [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] für $z [mm] \to z_0$, [/mm]
also
$|f(z)| [mm] \to \infty$ [/mm] für $z [mm] \to z_0$.
[/mm]
f hat also in [mm] z_0=0 [/mm] einen Pol. Es ex. also ein r>0 mit:
f hat in [mm] \{z \in \IC: 0<|z|
und
die holomorphe Fortsetzung von g (diese bez. ich wieder mit g) hat in [mm] $U:=\{z \in \IC: |z|
Dann ist $G:=g(U)$ offen. Es ex. also ein R>0 mit [mm] \{z \in \IC:|z|
Wir können von R=1 ausgehen. Für n [mm] \in \IN [/mm] ist dann $1/n [mm] \in [/mm] G$. Somit ex. ein [mm] v_n \in [/mm] U mit
[mm] $g(v_n)=1/n$,
[/mm]
also mit
[mm] $f(v_n)=n$.
[/mm]
Zeige nun Du: [mm] (v_n) [/mm] ist eine Nullfolge.
Damit haben wir: [mm] $f(v_n) \to [/mm] + [mm] \infty$, [/mm] im Widerspruch zu (*)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mi 29.07.2015 | | Autor: | Trikolon |
Das h in 2 hebbar ist folgt ja dann aus dem Riemannschen Hebbarkeitssatz. Aber dann ist ja h holomorph auf [mm] \IC [/mm] und beschränkt und damit konstant, oder? Aber wie sehen dann die gesuchten Funktionen aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 Do 30.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Das h in 2 hebbar ist folgt ja dann aus dem Riemannschen
> Hebbarkeitssatz.
Ja
Aber dann ist ja h holomorph auf [mm]\IC[/mm] und
> beschränkt und damit konstant, oder?
Ja
> Aber wie sehen dann
> die gesuchten Funktionen aus?
Sag mal, das ist doch nur noch ein winziger Schritt: f sei die holomorphe Fortsetzung von h auf [mm] \IC. [/mm] f ist beschränkt, |f| [mm] \le [/mm] 1 auf [mm] \IC.
[/mm]
Es gibt also ein c [mm] \in \IC [/mm] mit f(z)= c für alle z [mm] \in \IC.
[/mm]
Fazit: g(z)=c(z-2) für alle z [mm] \in \IC \setminus \{2\}.
[/mm]
Weiter ist |c| [mm] \le [/mm] 1.
FRED
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