Existenz von Eigenvektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Mo 21.02.2005 | | Autor: | laucky |
Hallo!
Ich habe eine dringende Frage, denn morgen, Dienstag, um 10:30 Uhr hab ich Zwischenprüfung zu dem Thema.
Es geht um folgendes: Hat jede (nxn)-Matrix einen Eigenvektor?
Damit habe ich ein gewisses Definitionsproblem.
1. Mein Kontra-Argument:
Wenn ich mir zum Beispiel eine (4x4)-Matrix über dem Grundkörper [mm] \IR [/mm] betrachte, dann ist es möglich, dass sie keine Eigenwerte aus [mm] \IR [/mm] besitzt, da das charakteristische Polynom, ich nenne es einmal [mm] X_{M}(\lambda) [/mm] nicht zwangsweise Nullstellen in [mm] \IR [/mm] haben muss.
2. Mein Pro-Argument
[mm] X_{M}(\lambda) [/mm] hat immer Nullstellen in [mm] \IC [/mm] (Fundamentalsatz der Algebra), kurz also
Sei V ein |K-Vektorraum. Sei |K [mm] \subset \IC
[/mm]
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] M [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times [/mm] n,|K) [mm] \exists \lambda \in \IC:
[/mm]
M [mm] \cdot [/mm] v = [mm] \lambda \cdot [/mm] v
Was bedeutet, dass ein Eigenvektor existiert. (Das Ganze braucht man sogar für den Satz über Triagonalisierung, aber das ist jetzt mal egal).
Ich bin mir da nicht so sicher, aber v muss doch nicht zwangsweise aus [mm] |K^{n}, [/mm] sondern kann doch auch aus [mm] (\IC \backslash |K)^{n} [/mm] kommen, richtig? Weiterhin ist eben für diese Fragestellung o.b.d.A. [mm] \lambda \in \IC \backslash [/mm] |K .
Bedeutet das nun, dass ein Eigenvektor existiert oder nicht?
Vielen Dank für die Antwort,
laucky
PS: Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
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Hi.
Man kann nicht einfach eine nxn Matrix betrachten, sondern man betrachtet eine Matrix aus [mm] $K^{n\times n}$, [/mm] man hat also immer einen Grundkörper. Eigenwerte stammen nun per Definition immer aus diesem Grundkörper, so dass es, wie du selbst schon festgestellt hast, durchaus passieren kann, dass eine Matrix keine Eigenwerte und damit natürlich auch keine Eigenvektoren hat.
Beispiel:
[mm] $$A=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }\in\mathbb{R}^{2\times 2}$$ [/mm] besitzt keine Eigenwerte,
[mm] $$B=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 }\in\mathbb{C}^{2\times 2}$$ [/mm] dagegen schon.
Ich hoffe, damit ist es klar.
Gruß
Philipp
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Hallo Laucky,
du hast deine Frage ja schon selbst beantwortet.
Wenn du Matrizen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper betrachtest (wie z.B. über [mm] \IC [/mm] ), dann zerfällt das char. Polynom immer in Linearfaktoren und es muss Eigenwerte aus dem Körper und damit Eigenvektoren geben.
Über einem Körper wie [mm] \IR [/mm] , der nicht algebraisch abgeschlossen ist, kann es vorkommen, dass ein (char.) Polynom keine Nullstellen hat, so dass es dann auch Matrizen ohne Eigenvektor gibt.
Offensichtlich kann das aber über [mm] \IR [/mm] nur für 2x2, 4x4, 6x6, ... Matrizen passieren, denn für ungerades n hat das char. Polynom ja immer eine reelle Nullstelle.
Viel Erfolg wünscht dir dein Ana3-Übungsleiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Mo 21.02.2005 | | Autor: | laucky |
Hallo!
Das Hauptproblem ist bei mir folgendes:
Ich bin mir darüber im klaren, dass das char. Polynom nicht über jedem Körper in seine Nullstellen zerbröselt. Nur ich kann dennoch einen Eigenwert finden, den ich mir eben aus einem anderen Körper klaue (zum Bleistift [mm] \IC). [/mm] Und dazu gibt es dann einen Eigenvektor.
Habe ich eure Antworten jetzt in dieser Richtung richtig verstanden, dass dieser "Eigenvektor" aus dem "herbeigezauberten" Körper per definitionem kein Eigenwert im mathematisch korrekten Sinne ist?
Ach ja, wie ist das mit den Eigenwerten, ist das da genauso oder zählen die dann schon?
Damit wäre meine Frage beantwortet, vielen Dank! ich möchte nur nochmal eine Bestätigung meiner obigen Vermutung.
LG,
Dein ehem. Arbeiten-Einreicher Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Mo 21.02.2005 | | Autor: | moudi |
Ja lieber Thomas
Die Eigenwerte müssen per Definitionem aus dem gleichen Körper sein wie der Körper des zugeordneten Vektorraums.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Mo 21.02.2005 | | Autor: | laucky |
Thanx
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