Existenz v. Grenzwerten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 So 09.01.2005 | | Autor: | bini |
Hallo!
Habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Sei:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] monoton wachsend. Beweisen Sie
a) für alle a [mm] \in [/mm] [0,1) exsistiert f(a+):= lim(x [mm] \to [/mm] a+) f(x); für alle [mm] a\in(0,1] [/mm] existiert f(a-):= lim (x [mm] \to [/mm] a-) f(x)
b) für alle [mm] a\in [/mm] [0,1] gilt: f ist genau dann unstetig in a, wenn a Sprungstelle von f ist, d.h. f(a-) [mm] \not= [/mm] f(a+) bzw. f(0) [mm] \not= [/mm] f(0+) für a=0 bzw. f(1-) [mm] \not= [/mm] f(1) für a=1
Kann irgendwie nichts anfangen mit a+ bzw a-. Wäre also sehr dankbar über einen Ansatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 So 09.01.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo bini!
> Habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
> Sei:[0,1] [mm]\to \IR[/mm] monoton wachsend. Beweisen Sie
> a) für alle a [mm]\in[/mm] [0,1) exsistiert f(a+):= lim(x [mm]\to[/mm] a+)
> f(x); für alle [mm]a\in(0,1][/mm] existiert f(a-):= lim (x [mm]\to[/mm] a-)
> f(x)
> b) für alle [mm]a\in[/mm] [0,1] gilt: f ist genau dann unstetig in
> a, wenn a Sprungstelle von f ist, d.h. f(a-) [mm]\not=[/mm] f(a+)
> bzw. f(0) [mm]\not=[/mm] f(0+) für a=0 bzw. f(1-) [mm]\not=[/mm] f(1) für
> a=1
>
> Kann irgendwie nichts anfangen mit a+ bzw a-. Wäre also
> sehr dankbar über einen Ansatz.
Du kennst ja sicherlich die Definition des Ausdruckes
[mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x) [/mm]
Er wird entweder über die [mm]\varepsilon[/mm]-Methode oder über konvergente Folgen [mm] (x_{n})_{n \in \IN} [/mm] mit Grenzwert a definiert.
Die Ausdrücke
[mm] \limes_{x\rightarrow a+}f(x) [/mm]
und
[mm] \limes_{x\rightarrow a-}f(x) [/mm]
bedeuten einfach, dass bei der [mm]\varepsilon[/mm]-Methode oder bei den Folgen nur x-Werte größer a beziehungweise kleiner a betrachtet werden.
Hier noch ein Tipp:
Denke über Existenz und Bedeutung der Zahlen
[mm]sup(\left{f(x): x < a\right}) [/mm] und
[mm]inf(\left{f(x): x > a\right}) [/mm]
nach.
Gruß Clemens
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