Existenz inj. Homomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:37 Mo 28.04.2008 | | Autor: | julia.k |
| Aufgabe | Sei [mm] S_{7} [/mm] die symmetrische Gruppe aller Permutationen von {1, ..., 7}.
a) Gibt es einen injektiven Homomorphismus [mm] \IZ/10\IZ [/mm] -> [mm] S_{7} [/mm] ?
b) Gibt es einen injektiven Homomorphismus [mm] \IZ/8\IZ [/mm] -> [mm] S_{7} [/mm] ? |
Hallo,
zu obiger Aufgabe habe ich einen Lösungsvorschlag, von dem ich aber nicht weiß, ob dieser korrekt ist:
Die Fragen laufen darauf hinaus, ob es in [mm] S_{7} [/mm] ein Element der Ordnung 10 bzw. der Ordnung 8 gibt.
a) Ja: Das Element (1,2)(3,4,5,6,7) hat die Ordnung 2*5 = 10
b) Nein: Denn ein Element der Ordnung 8 = [mm] 2^3 [/mm] muss, weil 8 Primzahlpotenz ist, einen Zykel der Länge 8 besitzen, aber wegen 8>7 ist das in [mm] S_{7} [/mm] unmöglich.
Also Teil b verstehe ich gut. Injektive Homomorphismen behalten die Gruppenordnung bei, d.h. es muss also zu jeder Ordnung, die in [mm] \IZ/8\IZ [/mm] vorkommt, auch ein Element derselben Ordnung in [mm] S_{7} [/mm] geben. Es kann aber kein Element der Ordnung 8 gefunden werden, also sind wir fertig.
Bei Teil a wird jetzt gezeigt, dass [mm] S_{7} [/mm] ein Element der Ordnung 10 besitzt. In [mm] \IZ/10\IZ [/mm] gibt es aber auch noch die Ordnungen 2 und 5, warum brauche ich nicht zu prüfen, ob es in [mm] S_{7} [/mm] entsprechende Elemente gibt? Warum reicht es, nur die Ordnung 10 zu überprüfen?!
Liebe Grüße 
Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Mo 28.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Bei Teil a wird jetzt gezeigt, dass [mm]S_{7}[/mm] ein Element der
> Ordnung 10 besitzt. In [mm]\IZ/10\IZ[/mm] gibt es aber auch noch die
> Ordnungen 2 und 5, warum brauche ich nicht zu prüfen, ob es
> in [mm]S_{7}[/mm] entsprechende Elemente gibt? Warum reicht es, nur
> die Ordnung 10 zu überprüfen?!
Weil mit dem Element a der Ordnung 10 [m]a^5[/m] eines der Ordnung 2, [m]a^2[/m] eines der Ordnung 5 ist.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:56 Mo 28.04.2008 | | Autor: | julia.k |
ah... dann lag ich also doch nicht falsch mit meiner Annahme, alle Elementordnungen überprüfen zu müssen...
Dickes Dankeschön!!!
Schönen Tag noch
Julia
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