Existenz eines Uneigtl. Integr < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Ernesto |
Hallo ihr Denker da draussen, ich habe eine Frage.
Wenn ich das Integral [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) dx} sin(x)/x dx bestimmen möchte und habe für die Integrationsgrenzen a= 0 und b = [mm] \infty. [/mm] Kann ich das mit dem
Majorantenkriterium für Integrale Lösen??? z.B. ist ja sin(x) eine integrierbare Majorante
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Nein, natürlich ist [mm] $\sin(x)$ [/mm] keine integrierbare Majorante... Erstens ist es nicht integrierbar, zweitens keine Majorante...
Es kommt darauf an, welchen Integralbegriff du zugrunde legst.
Das uneigentliche Riemann-Integral
[mm] $(R)-\int\limits_0^{\infty} \frac{\sin(x)}{x}\, [/mm] dx$
existiert: Denn für $0<a<b$ liefert eine partielle Integration:
[mm] $\left\vert \int\limits_a^b \frac{\sin(x)}{x}\, dx \right\vert [/mm] = [mm] \left\vert \left[ \frac{-\cos(x)}{x} \right]_a^b - \int\limits_a^b \frac{\cos(x)}{x^2}\, dx \right\vert \le \frac{1}{a} [/mm] + [mm] \frac{1}{b} [/mm] + [mm] \int\limits_a^b \frac{1}{x^2}\, [/mm] dx = [mm] \frac{2}{a}$,
[/mm]
und das Cauchy-Kriterium ergibt die Konvergenz des uneigentlichen Riemann-Integrals.
Aber Vorsicht:
Die Funktion [mm] $\left\vert \frac{\sin(x)}{x} \right\vert$ [/mm] ist nicht über [mm] $]0,+\infty[$ [/mm] uneigentlich Riemann-integrierbar, denn:
[mm] $\int\limits_{\pi}^{(n+1)\pi} \left\vert \frac{\sin(x)}{x} \right\vert\, [/mm] dx [mm] \ge \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(k+1)\pi} \int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin(x)|\, [/mm] dx = [mm] \frac{2}{\pi} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k+1} \to \infty$.
[/mm]
Daher ist $x [mm] \mapsto \frac{\sin(x)}{x}$ [/mm] nicht über [mm] $]0,+\infty[$ [/mm] Lebesgue-integrierbar!
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:30 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Ernesto |
DAnke für die Super schnelle Antwort!!! Ich habe mich da nochmal durchgequält !!! ist ein sehr langer und komplizierter Beweis. Für [mm] \integral_{0}^{ \infty} [/mm] sin(x)/x dx (habe ich das Integral aufgeteil in [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] und [mm] \integral_{1}^{M} [/mm] für m -> [mm] \infty [/mm] FÜr das erste Integral habe ich gezeigt das die Folge der Integrale (I)n Konvergiert , indem ich gezeigt habe das die Folge monoton wachsend und nach oben beschränkt ist. Für für das zweite Integral ist ja ganz leicht!!! Aber warum muss ich sowas nur immer mühsam zusammenstricken, warum kann ich das nicht sehen so ein Mist. Ich schreibe in zwei Wochen eine Analysis 1 Klausur an der Uni Köln und lerne jeden TAg wie ein Depp. Definitionen, Sätze, Beweise und ich Beweise selber was das Zeug hällt!!! ich kann eigentlich alles aber dann kommt sowas und macht mich wieder fertig. na wie gesagt danke danke
MFG Kalli
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