Existenz eines Potentials < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Integrabilitätsbedingungen eine notwendige Voraussetzung für die Existenz eines Potentials zum Vektorfeld g : [mm] \IR3 \to \IR3 [/mm] sind. |
im [mm] \IR3 [/mm] ist die IB ja [mm] rot\vec{g} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
aber wie zeigt man dass diese vorraussetzung notwendig ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Do 13.08.2015 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass die Integrabilitätsbedingungen eine
> notwendige Voraussetzung für die Existenz eines Potentials
> zum Vektorfeld g : [mm]\IR3 \to \IR3[/mm] sind.
> im [mm]\IR3[/mm] ist die IB ja [mm]rot\vec{g}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
> aber wie zeigt man dass diese vorraussetzung notwendig
> ist?
Sei also [mm] $g=(g_1,g_2,g_3): \IR^3 \to \IR^3$ [/mm] ein stetig differenzierbares Vektorfeld und $g$ habe auf [mm] \IR^3 [/mm] die Stammfunktion $G: [mm] \IR^3 \to \IR$.
[/mm]
Dann ist $G$ zweimal stetig differenzierbar.
Eine der IBen lautet:
(*) [mm] \bruch{\partial g_1}{\partial y} [/mm] = [mm] \bruch{\partial g_2}{\partial x}.
[/mm]
Wir zeigen (*):
Es ist [mm] \bruch{\partial G}{\partial x}=g_1 [/mm] und [mm] \bruch{\partial G}{\partial y}=g_2.
[/mm]
Somit:
[mm] \bruch{\partial g_1}{\partial y}= \bruch{\partial^2 G}{\partial y \partial x}= \bruch{\partial^2 G}{\partial x \partial y}= \bruch{\partial g_2}{\partial x}.
[/mm]
Das mittlere "=" gilt wegen des Satzes von Schwarz.
Jetzt zeige Du den Rest.
FRED
FRED
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