Existenz eines Minimums < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Fr 01.01.2010 | | Autor: | bero2009 |
| Aufgabe | Sei [mm]f:R \rightarrow R[/mm] stetig mit [mm]\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)=lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\infty[/mm].
Zeige, dass ein [mm]x_{min} \in R[/mm] existiert, mit [mm]f(x_{min})=inf_{x \in R}f(x)[/mm], das heißt, die Funktion f nimmt ihr Minimm an |
Hallo zusammen,
mir fehlt bei dieser Aufgabe ein passender Ansatz, der mich nach vorne bringt. Ich habe bisher folgende Überlegungen gemacht:
Die Funktion kann ich mir doch praktish als zb. eine Parabel vorstelen. Ich habe mir nun gedacht, das ich die Definition der Stetigkeit über Folgen zu Rate ziehen könnte. D.h. an der Stelle [mm]x^{\prime}[/mm] befinde sich mein Minimum. Da f stetig ist, ist f also auch in [mm]x^{\prime}[/mm] stetig. Also gilt für alle Urbildfolgen [mm](x_n)[/mm], die gegen [mm]x^{\prime}[/mm] konvergieren, dass auch ihre zugehörigen Bildfolgen [mm]f(x_n)[/mm] gegen [mm]f(x^{\prime})[/mm] konvergieren. Also müsste für all diese Urbildfolgen gelten, dass sie nicht nur gegen [mm]x^{\prime}[/mm] konvergieren sondern die Folgeglieder ihrer Bildfolgen stehts größer als [mm]f(x^{\prime})[/mm] sind. Dann hätte ich ein Minimum beschrieben. Aber ich weiß nicht wie ich da weitermachen soll und das zeigen könnte.
Bin ich da auf dem richtigen Weg oder auf einem Holzweg??
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen!
Gruß, Benni
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Guten Abend,
hattet ihr schon den Satz vom Minimum/Maximum? Dann würde es reichen deine reelle Achse genügend einzuschränken (grob gesprochen abzuschneiden, links und rechts) und schön hättest du eine Kompakte Menge und die Existenz des Minimums. Du musst dann nur noch zeigen, dass du das auch machen darst, also dass beim abschneiden nicht das Minimum abgeschnitten wird, dass kannst du aber über die def. von Konvergenz gegen unendlich machen.
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Sa 02.01.2010 | | Autor: | bero2009 |
Danke für deine Antwort.
Also wir hatten bereits den Satz, der besagt, dass eine stetige Funktion deren Definitionsbereich beschränkt ist auch ihr Minimum bzw. Maximum annimmt. Wir haben den Satz nicht bewiesen, aber ich denke mal, dass ich den als gegeben ansehen kann.
In meiner Aufgabe ist f ja nicht wirklich beschränkt. Deshalb hattest du wahrscheinlich geraten den Definitionsbereich einfach einzuschränken.
Den Begriff der Kompakten Menge hatten wir meines Wissens aber nicht definiert. Scheint aber nicht weiter schlimm zu sein, da das ja nur heißt, dass meine Menge, also der Definitionsbereich, beschränkt und abgeschlossen ist. Im Prinzip schränke ich also meinen Definitionsbereich ein, um über den Extremwertsatz sagen zu können, dass ein Minimum existiert. Konnte ich dir bis hier hin richtig folgen?
Wenn ich aber meinen Definitionsbereich einschränke, dann ist das Minimum bzw. Maximum doch nicht das gleiche, wie bei einem anderen Intervall. D.h. je nach dem welche Schranken ich wähle erhalte ich doch nicht zwangsweise das absolute Minimum oder Maximum von f. Also schneide ich unter Umständen doch mein absolutes Minimum ab oder nicht?
In dem Zusammenhang ist mir auch unklar, wie ich mit Hilfe der Konvergenz zeigen kann, dass ich mein Minimum eben nicht abschneide.
Vielleicht hast du noch einen Denkanstoß für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Sa 02.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Also wir hatten bereits den Satz, der besagt, dass eine
> stetige Funktion deren Definitionsbereich beschränkt ist
> auch ihr Minimum bzw. Maximum annimmt. Wir haben den Satz
> nicht bewiesen, aber ich denke mal, dass ich den als
> gegeben ansehen kann.
>
> In meiner Aufgabe ist f ja nicht wirklich beschränkt.
> Deshalb hattest du wahrscheinlich geraten den
> Definitionsbereich einfach einzuschränken.
> Den Begriff der Kompakten Menge hatten wir meines Wissens
> aber nicht definiert. Scheint aber nicht weiter schlimm zu
> sein, da das ja nur heißt, dass meine Menge, also der
> Definitionsbereich, beschränkt und abgeschlossen ist. Im
> Prinzip schränke ich also meinen Definitionsbereich ein,
> um über den Extremwertsatz sagen zu können, dass ein
> Minimum existiert. Konnte ich dir bis hier hin richtig
> folgen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn ich aber meinen Definitionsbereich einschränke, dann
> ist das Minimum bzw. Maximum doch nicht das gleiche, wie
> bei einem anderen Intervall. D.h. je nach dem welche
> Schranken ich wähle erhalte ich doch nicht zwangsweise das
> absolute Minimum oder Maximum von f. Also schneide ich
> unter Umständen doch mein absolutes Minimum ab oder
> nicht?
Richtig. Deswegen wäre die Aussage für eine beliebige Funktion ja auch falsch. Du brauchst du Bedingung, dass die Funktion für [mm] $x\to\pm\infty$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] geht.
> In dem Zusammenhang ist mir auch unklar, wie ich mit Hilfe
> der Konvergenz zeigen kann, dass ich mein Minimum eben
> nicht abschneide.
Was genau bedeutet [mm] $\lim_{x\to+\infty} [/mm] f(x) = [mm] \infty$? [/mm] Was ist die formale Definition?
> Vielleicht hast du noch einen Denkanstoß für mich?
Anschaulich heisst es doch, dass die Funktionswerte sehr groß werden, wenn du nur weit genug nach rechts die x-Achse längsläufst. Nimm dir die formale Definition des Limes und du siehst, dass du auf ein abgeschlossenes und beschränktes Intervall einschränken darfst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Sa 02.01.2010 | | Autor: | bero2009 |
> Was genau bedeutet [mm]\lim_{x\to+\infty} f(x) = \infty[/mm]? Was
> ist die formale Definition?
Für alle Folgen [mm](x_n)_{n \in N}[/mm] mit [mm] \lim_{n \to\pm\infty} x_n =\pm \infty[/mm] gilt: [mm] \lim_{n \to\pm\infty} f(x_n) =\pm \infty[/mm]
Das wäre die Definition über Folgen. Aber was sehe ich darin, außer das für alle Urbildfolgen die divergieren auch ihre zugehörigen Bildfolgen divergieren?
Ich glaube ich steh total auf dem Schlauch;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Sa 02.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipps:
1. Wegen
$ [mm] \lim_{x \rightarrow \infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\infty [/mm] $
gibt es Zahlen a und b mit a<b und
f(x) [mm] \ge [/mm] 1 für x [mm] \le [/mm] a und f(x) [mm] \ge [/mm] 1 für x [mm] \ge [/mm] b
2. Auf [a,b] nimmt f ein Minimum an
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Sa 02.01.2010 | | Autor: | bero2009 |
> Tipps:
>
> 1. Wegen
>
> [mm]\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)=lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\infty[/mm]
>
> gibt es Zahlen a und b mit a<b und
>
> f(x) [mm]\ge[/mm] 1 für x [mm]\le[/mm] a und f(x) [mm]\ge[/mm] 1 für x [mm]\ge[/mm] b
Das leuchtet mir ein. Wobei ich es so schreiben würde:
Wegen [mm]\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)=lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\infty[/mm] gibt es Zahlen a und b mit a<[mm]x_{min}[/mm]< b und
f(x) [mm]\ge f(x_{min})[/mm] für x [mm]\le[/mm] a und f(x) [mm]\ge[/mm] [mm] f(x_{min}) [/mm] für x [mm]\ge[/mm] b. Mein [mm]f(x_{min}})[/mm] ist ja nicht bekannt. Oder?
> 2. Auf [a,b] nimmt f ein Minimum an
Wegen dem bekannten Extremwertsatz.
Aber ist damit nicht schon alles gezeigt? Ich habe meinen Definitionsbereich beschränkt und zwar so, dass mein [mm]x_{min}[/mm] zwischen a und b liegen muss. Aus dem Extremwertsatz folgt dann, dass f auf dem Intervall ein Minimum annimmt.
Irgendwie kommt mir das nicht rund vor.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Sa 02.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> Wegen [mm]\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)=lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\infty[/mm]
> gibt es Zahlen a und b mit a<[mm]x_{min}[/mm]< b und
Hier nimmst du schon an, dass eine Minimalstelle $x_min$ existiert (geht gar nich!)
> f(x) [mm]\ge f(x_{min})[/mm] für x [mm]\le[/mm] a und f(x) [mm]\ge[/mm] [mm]f(x_{min})[/mm]
> für x [mm]\ge[/mm] b.
Das folgt trivialerweise daraus, dass dein [mm] $x_{\text{min}}$ [/mm] wohl zufällig das globale Minimum sein soll (dessen Existenz du aber nicht gezeigt hast).
Meiner Meinung nach müsstest du die Sache wie folgt aufziehen:
1) Es gibt $a<0<b$ mit [mm] $f(x)\ge [/mm] f(0)$ für [mm] $x\in\IR\setminus[a,b]$
[/mm]
2) $f$ nimmt auf $[a,b]$ ein Minimum an, nennen wirs [mm] $x_\*$.
[/mm]
Nun ist klar dass [mm] $f(x_\*)$ [/mm] sogar ein globales Minimum ist für [mm] $x\not\in[a,b]$ [/mm] ist [mm] $f(x)\ge f(0)\ge f(x_\*)$. [/mm] So wie Fred es geschrieben hat klappt es nicht direkt, weil dann das Minimum auf [a,b] nicht unbedingt ein globales Minimum sein muss.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Sa 02.01.2010 | | Autor: | bero2009 |
Also ich fasse mal zusammen:
Wegen [mm]\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\infty[/mm] gibt es Zahlen a und b mit [mm]a<0
Damit haben wir den Definitionsbereich von f beschränkt.
Aus dem Extremwertsatz folgt nun, dass f auf dem Intervall [a,b] ihr Minimum animmt, was zu zeigen war.
Das klingt für mich irgendwie zu schwammig oder wie seht ihr das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 So 03.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Benni,
> Damit haben wir den Definitionsbereich von f beschränkt.
Naja, der Definitionsbereich von [mm]f[/mm] ist ja weiterhin die Menge der reellen Zahlen. Besser: Wir betrachten die Einschränkung von [mm]f[/mm] auf das Intervall [mm][a,b][/mm] (also die Funktion, nennen wir sie [mm]g:[a,b]\to\IR,x\mapsto f(x)[/mm]).
> Aus dem Extremwertsatz folgt nun, dass f auf dem Intervall
> [a,b] ihr Minimum animmt, was zu zeigen war.
Aus dem Extremwertsatz folgt ersteinmal nur, dass die Einschränkung von [mm]f[/mm] auf das Intervall [mm][a,b][/mm], also die Funktion [mm]g[/mm] ihr Minimum annimmt. Nennen wir eine Stelle, an der sie dies tut [mm]x_\*[/mm].
Zu zeigen ist nun, dass [mm]x_\*[/mm] bereits Minimalstelle von der ganzen Funktion [mm]f[/mm] ist.
Sei dazu [mm]x\in\IR[/mm]. Zu zeigen ist, dass [mm]f(x)>=f(x_\*)[/mm]. Dazu führen wir eine Fallunterscheidung durch:
Falls [mm]x\in[a,b][/mm], gilt [mm]f(x)=g(x)>=g(x_\*)=f(x_\*)[/mm].
Falls [mm]x\in\IR\setminus[a,b][/mm], gilt [mm]f(x)>=f(0)=g(0)>=g(x_\*)=f(x_\*)[/mm].
Falls das unverständlich war, zögere bitte nicht, nachzufragen!
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 So 03.01.2010 | | Autor: | bero2009 |
> Hallo Benni,
>
> > Damit haben wir den Definitionsbereich von f beschränkt.
> Naja, der Definitionsbereich von [mm]f[/mm] ist ja weiterhin die
> Menge der reellen Zahlen. Besser: Wir betrachten die
> Einschränkung von [mm]f[/mm] auf das Intervall [mm][a,b][/mm] (also die
> Funktion, nennen wir sie [mm]g:[a,b]\to\IR,x\mapsto f(x)[/mm]).
Jo, das ist besser.
> > Aus dem Extremwertsatz folgt nun, dass f auf dem Intervall
> > [a,b] ihr Minimum animmt, was zu zeigen war.
> Aus dem Extremwertsatz folgt ersteinmal nur, dass die
> Einschränkung von [mm]f[/mm] auf das Intervall [mm][a,b][/mm], also die
> Funktion [mm]g[/mm] ihr Minimum annimmt. Nennen wir eine Stelle, an
> der sie dies tut [mm]x_\*[/mm].
D.h. ich weiß aus dem Extremwertsatz, dass meine Funktion g auf ihrem Intervall ihr Minimum annimmt. Ich weiß aber noch nicht, ob dieses Minimum auch das Globale von f ist. Das zeige ich dann im nächsten Schritt:
> Zu zeigen ist nun, dass [mm]x_\*[/mm] bereits Minimalstelle von der
> ganzen Funktion [mm]f[/mm] ist.
> Sei dazu [mm]x\in\IR[/mm]. Zu zeigen ist, dass [mm]f(x)>=f(x_\*)[/mm]. Dazu
> führen wir eine Fallunterscheidung durch:
> Falls [mm]x\in[a,b][/mm], gilt [mm]f(x)=g(x)>=g(x_\*)=f(x_\*)[/mm].
1. Fall ist klar, denn wir haben ja definiert, dass auf [a,b] g = f ist.
> Falls [mm]x\in\IR\setminus[a,b][/mm], gilt
> [mm]f(x)>=f(0)=g(0)>=g(x_\*)=f(x_\*)[/mm].
2 Fall: [mm]f(x)>=f(0)=g(0)[/mm] Das gilt, weil mein [mm]f(x)>=f(a)[/mm] bzw. [mm]f(x)>=f(b)[/mm] ist und somit auch [mm]f(x)>=f(0)[/mm], denn wir haben definiert [mm]a<0=g(x_\*)=f(x_\*)[/mm].
Bis auf die eine Stelle konnte ich das nachvollziehen. Vielleicht kann mir da noch mal jemand auf die Sprünge helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 So 03.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Sehr schön erklärt!
Zu der einen Stelle:
> 2 Fall: [mm]f(x)>=f(0)=g(0)[/mm] Das gilt, weil mein [mm]f(x)>=f(a)[/mm] bzw.
> [mm]f(x)>=f(b)[/mm] ist
Das muss nicht gelten. Die Funktion f muss NICHT rechts von der Stelle 0 monoton wachsend und links von der Stelle 0 monoton fallend sein. Sie kann durchaus z.B. rechts von der Stelle 0 "auch mal ein Stückchen runtergehen".
> Ist wirklich immer mein f(x) >= f(0) und warum?
Das liegt einfach an der Wahl der Zahlen a und b. Die hattest du so formuliert:
> Wegen [mm]\lim_{x \rightarrow \infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\infty[/mm] gibt es Zahlen a und b mit [mm]a<0
Und im 2. Fall betrachten wir gerade [mm]x\in\IR\setminus[a,b][/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 So 03.01.2010 | | Autor: | bero2009 |
Ich hab mir das Ganze noch mal skizziert. Jetzt hab ich auch den letzten Punkt verstanden.
Dank euch für die super Hilfe!
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