Existenz einer konv Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Di 31.05.2011 | | Autor: | mors777 |
| Aufgabe | | Gibt es eine konvergente Folge, die im Werteberich alle natürlichen Zahlen abdeckt? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebes Forum,
meine Schwester überraschte mich heute mit einer scheinbar elementaren Aufgabe aus dem Grundstudium:
Gibt es eine konvergente Folge, die im Werteberich alle natürlichen Zahlen abdeckt?
Meine Mathe Vorlesungen sind schon ewig her, so dass ich ihr nicht ausreichend helfen konnte. Intuitiv würde ich diese Frage mit nein beantworten, und zwar folgendermassen begründet: eine Folge ist nach meiner Erinnerung konvergent, wenn diese monoton wachsend/fallend und beschränkt ist. Eine monoton wachsende Folge, die beschränkt ist und gleichzeitig im Wertebereich den ganzen Bereich der natürlichen Zahlen abdeckt wird es wohl nicht geben. Da N unendlich ist, wäre es ein Wiederspruch in sich. Eine monoton fallende Folge, die N abbildet und gegen 0 oder 1 läuft will mir nicht einfallen. Warum es keine solche prinzipiell geben kann, konnte ich allerdings formal nicht begründen.
Hat jemand eine Idee, wie ein entsprechender Beweis zu führen wäre? Meine eigene Antwort gefällt mir selbst nicht wirklich, kann mir nicht vorstellen, dass das richtig wäre.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Di 31.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gibt es eine konvergente Folge, die im Werteberich alle
> natürlichen Zahlen abdeckt?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Liebes Forum,
>
> meine Schwester überraschte mich heute mit einer scheinbar
> elementaren Aufgabe aus dem Grundstudium:
>
> Gibt es eine konvergente Folge, die im Werteberich alle
> natürlichen Zahlen abdeckt?
>
> Meine Mathe Vorlesungen sind schon ewig her, so dass ich
> ihr nicht ausreichend helfen konnte. Intuitiv würde ich
> diese Frage mit nein beantworten, und zwar folgendermassen
> begründet: eine Folge ist nach meiner Erinnerung
> konvergent, wenn diese monoton wachsend/fallend und
> beschränkt ist.
Es gibt aber auch konvergente Folgen, die nicht monoton sind:
[mm] a_n=\bruch{(-1)^n}{n}
[/mm]
( [mm] (a_n) [/mm] ist eine Nullfolge.)
> Eine monoton wachsende Folge, die
> beschränkt ist und gleichzeitig im Wertebereich den ganzen
> Bereich der natürlichen Zahlen abdeckt wird es wohl nicht
> geben. Da N unendlich ist, wäre es ein Wiederspruch in
> sich. Eine monoton fallende Folge, die N abbildet und gegen
> 0 oder 1 läuft will mir nicht einfallen. Warum es keine
> solche prinzipiell geben kann, konnte ich allerdings formal
> nicht begründen.
>
> Hat jemand eine Idee, wie ein entsprechender Beweis zu
> führen wäre?
Eine konvergente Folge ist beschränkt ! Ist also [mm] (a_n) [/mm] konvergent, so gibt es ein c [mm] \ge [/mm] 0 mit
-c [mm] \le a_n \le [/mm] c für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
Ist nun m [mm] \in \IN [/mm] und m>c, so ist mit Sicherheit
$k [mm] \notin \{a_n: n \in \IN \}$ [/mm] für alle k [mm] \in \IN [/mm] mit k [mm] \ge [/mm] m.
Fazit: $ [mm] \{a_n: n \in \IN \} \ne \IN$
[/mm]
FRED
> Meine eigene Antwort gefällt mir selbst
> nicht wirklich, kann mir nicht vorstellen, dass das richtig
> wäre.
>
> Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Di 31.05.2011 | | Autor: | mors777 |
Herzlichen Dank für die zeitnahe Antwort FRED
>Es gibt aber auch konvergente Folgen, die nicht monoton sind
stimmt, mein Fehler. Notiz an Anna und mich: alternierende Folgen können ebenfalls konvergieren :)
>Eine konvergente Folge ist beschränkt ! Ist also $ [mm] (a_n) [/mm] $ konvergent, >so gibt es ein c $ [mm] \ge [/mm] $ 0 mit ....
Wenn ich das richtig verstehe stützt sich deine Begründung gerade auf den Umstand der Beschränktheit. Nur noch mal zur Sicherheit, dass ich die Idee richtig verstanden habe: natürlichsprachlich beschrieben würde es heissen, dass sich für eine beschränkte Folge immer ein k>=m>c aus N finden lässt, das nicht im Wertebereich dieser Folge liegt. Korrekt? Danke für das Vorkauen ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Mi 01.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Herzlichen Dank für die zeitnahe Antwort FRED
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> >Es gibt aber auch konvergente Folgen, die nicht monoton
> sind
>
> stimmt, mein Fehler. Notiz an Anna und mich: alternierende
> Folgen können ebenfalls konvergieren :)
>
> >Eine konvergente Folge ist beschränkt ! Ist also [mm](a_n)[/mm]
> konvergent, >so gibt es ein c [mm]\ge[/mm] 0 mit ....
>
> Wenn ich das richtig verstehe stützt sich deine
> Begründung gerade auf den Umstand der Beschränktheit. Nur
> noch mal zur Sicherheit, dass ich die Idee richtig
> verstanden habe: natürlichsprachlich beschrieben würde es
> heissen, dass sich für eine beschränkte Folge immer ein
> k>=m>c aus N finden lässt, das nicht im Wertebereich
> dieser Folge liegt. Korrekt?
Ja
FRED
> Danke für das Vorkauen ;)
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