Existenz einer ganzen Fkt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Do 06.08.2015 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Existiert eine ganze Funktion f, sodass [mm] f(exp(1/n))=\bruch{n+1}{n} [/mm] für alle n in [mm] \IN [/mm] gilt? |
Hallo,
eine solche Fkt wäre ja
[mm] \bruch{nlog(z^n)+1}{nlog(z^n)}. [/mm] Aber die ist ja nicht ganz...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Do 06.08.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Existiert eine ganze Funktion f, sodass
> [mm]f(exp(1/n))=\bruch{n+1}{n}[/mm] für alle n in [mm]\IN[/mm] gilt?
> Hallo,
>
> eine solche Fkt wäre ja
>
> [mm]\bruch{nlog(z^n)+1}{nlog(z^n)}.[/mm] Aber die ist ja nicht
> ganz...
Die Funktion wäre doch eher $f(z)=1+ln(z)=ln(e*z)$, doch die ist doch auch nicht ganz.
RMIx
P.S.: Je nachdem, welcher Definition von [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] man folgt, müsste man u.U. auch noch $n=0$ ausschließen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Do 06.08.2015 | | Autor: | rollroll |
Da hast du natürlich recht. Aber dann müsste man ja iwie allgemein die Nichtexistenz beweisen können. Die Frage ist bloß, wie?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Do 06.08.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Da hast du natürlich recht. Aber dann müsste man ja iwie
> allgemein die Nichtexistenz beweisen können. Die Frage ist
> bloß, wie?
Zuerst dachte ich auch, dass die Argumentation, dass die Funktion so auszusehen hat wie vorhin angegeben und $ln(z)$ nicht in ganz [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] holomorph ist, ausreichend sein müsste.
$ln(z)$ ist ja nur holomorph, wenn wir auf den Hauptwert beschränken und die negative reelle Achse und Null entfernen.
Aber da ist ja noch die Einschränkung, dass $f$ sich nur für die Argumente [mm] $e^{\frac 1 n}$ [/mm] wie angegeben zu verhalten hat.
Die Frage ist also, ob es möglich ist, anstelle von $ln(z)$ eine in ganz [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] holomorphe Funktion zu definieren, die nur zumindest an den Stellen [mm] $e^{\frac 1 n}$ [/mm] mit $ln(z)$ übereinstimmt.
Da will mir im Moment nichts einfallen - auch $|ln(z)|$ ist ja nicht ganz.
Ein Nicht-Existenz-Beweis für eine ganze Funktion, von der nur abzählbar viele Stellen vorgegeben sind scheint mir aber eher unwahrscheinlich.
RMIx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Do 06.08.2015 | | Autor: | fred97 |
Wir nehmen an, es gäbe eine ganze Funktion f mit
$ [mm] f(exp(1/n))=\bruch{n+1}{n} [/mm] $ für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Setze [mm] g(z):=f(e^z)-(z+1). [/mm] Dann ist g(1/n)=0 für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Der Identitätssatz liefert: g(z)=0 für alle z [mm] \in \IC. [/mm] Das bedeutet:
[mm] f(e^z)=z+1 [/mm] für alle z [mm] \in \IC.
[/mm]
Leiten wir ab, so bekommen wir
$ [mm] f'(e^z)e^z=1$ [/mm] für alle z [mm] \in \IC.
[/mm]
Das bedeutet:
$ [mm] f'(w)=\bruch{1}{w}$ [/mm] für alle w [mm] \in \IC [/mm] mit w [mm] \ne [/mm] 0.
Geht das gut ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Do 06.08.2015 | | Autor: | rollroll |
Das geht ja schief weil es für 1/w mit w [mm] \in \IC [/mm] \ {0} keine Stammfunktion gibt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Do 06.08.2015 | | Autor: | fred97 |
> Das geht ja schief weil es für 1/w mit w [mm]\in \IC[/mm] \ {0}
> keine Stammfunktion gibt.
Na ja, so würde ich nicht argumentieren. Wenn f ganz, so auch f'. Gilt nun
$ [mm] f'(w)=\bruch{1}{w} [/mm] $ für alle w $ [mm] \in \IC [/mm] $ mit w $ [mm] \ne [/mm] $ 0,
so hätte $f'$ dann in w=0 einen Pol und eine hebbare Sing. !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Fr 07.08.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wir nehmen an, es gäbe eine ganze Funktion f mit
>
>
> [mm]f(exp(1/n))=\bruch{n+1}{n}[/mm] für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Setze [mm]g(z):=f(e^z)-(z+1).[/mm] Dann ist g(1/n)=0 für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Der Identitätssatz liefert: g(z)=0 für alle z [mm]\in \IC.[/mm]
> Das bedeutet:
>
> [mm]f(e^z)=z+1[/mm] für alle z [mm]\in \IC.[/mm]
Gerade fällt mir auf, dass schon die letzte Zeile zu einem Widersprich führt, nämlich
[mm] $1=0+1=f(e^0)=f(e^{2 \pi i})=2 \pi [/mm] i+1$.
>
> Leiten wir ab, so bekommen wir
>
> [mm]f'(e^z)e^z=1[/mm] für alle z [mm]\in \IC.[/mm]
>
> Das bedeutet:
>
>
>
> [mm]f'(w)=\bruch{1}{w}[/mm] für alle w [mm]\in \IC[/mm] mit w [mm]\ne[/mm] 0.
>
>
> Geht das gut ?
>
> FRED
>
>
Ich habe mir mal die Frage vorgelegt, für welche ganzen Funktionen f und h gilt
$f(h(z))=z+1$ für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] ?
Zunächst stellt man fest, dass h injektiv ist, denn aus h(z)=h(w) folgt $z+1=f(h(z))=f(h(w))=w+1$, also z=w.
Damit ist h eine injektive ganze Funktion, also ex. a,b [mm] \in \IC [/mm] mit a [mm] \ne [/mm] 0 und h(z)=az+b.
(dieses Resultat lernt man üblicherweise in einer einführenden Vorlesung "Funktionentheorie" nicht !).
Wir haben also
f(az+b)=z+1 für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] .
Differentiation liefert
$ f'(az+b)*a=1$ für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] .
Da h bijektiv ist, bekommen wir
[mm] $f'(w)=\bruch{1}{a}$ [/mm] für alle $w [mm] \in \IC$ [/mm] .
Damit gibt es ein c [mm] \in \IC [/mm] mit
[mm] $f(z)=\bruch{1}{a}z+c$ [/mm] für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] .
Aus f(az+b)=z+1 folgt nun sofort: [mm] c=1-\bruch{b}{a}.
[/mm]
Damit ist folgender "netter Satz" gezeigt:
Satz: Für zwei ganze Funktionen f und h sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(1) f(h(z))=z+1 für alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] .
(2) Es gibt a,b [mm] \in \IC [/mm] mit a [mm] \ne [/mm] 0, h(z)=az+b und [mm] f(z)=\bruch{1}{a}z+1-\bruch{b}{a}.
[/mm]
Die Implikation (1) [mm] \Rightarrow [/mm] (2) haben wir oben gezeigt, die Implikation (2) [mm] \Rightarrow [/mm] (1) folgt durch einfaches nachrechnen.
Gruß FRED
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