Existenz einer Funktion zeigen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen Sie: Es gibt ein $ [mm] \delta [/mm] > 0$ so, dass genau ein streng monoton fallenedes $ f [mm] \in C^1(]-\delta, \delta[, \mathbb{R})$ [/mm] existiert, sodass
[mm] $xe^x [/mm] + [mm] f(x)e^{f(x)} [/mm] + xf(x) = 0, [mm] \quad x\in ]-\delta, \delta[$
[/mm]
Berrechnen Sie ausserdem das Taylorpolynom von f der Ordnung 2. |
Hi
hat das irgendwas mit impliziten Funktionen zu tun? Mithilfe des Satzes von impl. Funktionen könnte ich ja zumindest zeigen dass $f [mm] \in C^1(]-\delta, \delta[, \mathbb{R})$ [/mm] existiert, indem ich $f(0) := 0$
und
$h(x,f(x)) := [mm] xe^x [/mm] + [mm] f(x)e^{f(x)} [/mm] + xf(x) = 0$
und das nach f(x) ableite
[mm] $\partial_f [/mm] h(0,0) = [mm] f(0)e^{f(0)} [/mm] + [mm] f'(0)e^{f(0)} [/mm] + 0*f'(0)$ und dass muss jetzt $ [mm] \neq [/mm] 0 $ sein, also genau dann wenn $f'(0) [mm] \neq [/mm] 0$
Äh ja ich hoffe man versteht was ich da mach oder versuch zu machen, aber weiter komm ich nicht, bzw ich vermute dass obiges eh falsch ist...
Warum muss f streng monoton fallend sein ?
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Sa 30.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Setze [mm] F(x,y):=xe^x+ye^y+xy.
[/mm]
Zeige: F(0,0)=0 und [mm] F_y(0,0) \ne [/mm] 0.
Der Satz über implizit def. Funktionen sagt nun:
es gibt ein $ [mm] \delta [/mm] > 0 $ so, dass genau $ f [mm] \in C^1(]-\delta, \delta[, \mathbb{R}) [/mm] $ existiert, sodass f(0)=0 und
$ [mm] xe^x [/mm] + [mm] f(x)e^{f(x)} [/mm] + xf(x) = 0, [mm] \quad x\in ]-\delta, \delta[ [/mm] $ .
Oben hast Du die Gleichung
[mm] xe^x [/mm] + [mm] f(x)e^{f(x)} [/mm] + xf(x) = 0
falsch nach x differenziert. Wenn Du es richtig machst, bekommst Du f'(0)<0.
Da f' stetig ist , kannst Du nun notfalls [mm] \delta [/mm] so klein wählen, dass f'(x)<0 ist für |x| < [mm] \delta.
[/mm]
Im Intervall ]- [mm] \delta, \delta[ [/mm] ist f dann streng monoton fallend.
FRED
|
|
|
| |
|
Danke! Zum Taylorpolynom habe ich noch eine Frage, Entwicklungspunkt ist ja keiner gegeben also habe ich geschrieben:
$f'(x) = [mm] -(\partial_y F(x,f(x))^{-1} [/mm] * [mm] \partial_x [/mm] F(x,f(x)) = - [mm] \frac{e^x + xe^x + f(x)}{e^{f(x)} +f(x)e^{f(x)} + x}$
[/mm]
und davon dann die 2. Ableitung berrechnet, das spar ich mir jetz mal alles hinzuschreiben und erhalte dann das Taylorpolynom 2. Ordnung von um a:
[mm] $T_2(f, [/mm] a) = f(a) + f'(a)(x-a) + [mm] \frac{1}{2}f''(x-a)^2 [/mm] $
Passt das so?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Sa 30.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke! Zum Taylorpolynom habe ich noch eine Frage,
> Entwicklungspunkt ist ja keiner gegeben
Nimm doch als Enrwicklungspunkt einfach die 0.
> also habe ich
> geschrieben:
>
> [mm]f'(x) = -(\partial_y F(x,f(x))^{-1} * \partial_x F(x,f(x)) = - \frac{e^x + xe^x + f(x)}{e^{f(x)} +f(x)e^{f(x)} + x}[/mm]
>
> und davon dann die 2. Ableitung berrechnet, das spar ich
> mir jetz mal alles hinzuschreiben und erhalte dann das
> Taylorpolynom 2. Ordnung von um a:
>
> [mm]T_2(f, a) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(x-a)^2[/mm]
Besser: [mm]T_2(f, a) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2[/mm]
Wenn Du alles richtig gerechnet hast, ist es O.K.
FRED
>
> Passt das so?
|
|
|
|
