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| Aufgabe | Gegeben das Anfangswertproblem [mm] \begin{cases} x(t)'=1+x(t)^3, & \\ x(0)=c \end{cases}
[/mm]
Existiert jede Lösung für alle [mm] t\ge [/mm] 0? |
Hallo zusammen! Ich habe einen Ansatz, weiß aber nicht so recht ob das richtig ist:
Ich möchte den Vergleichssatz anwenden:
Für das AWP aus der Aufgabe setze ich c=1 und bekomme [mm] \begin{cases} x(t)'=1+x(t)^3, & \\ x(0)=1 \end{cases} [/mm] da die DGL autonom ist, ist jede stetig diffbare Lösung monoton (Satz). Ich betrachte jetzt ein Intervall [mm] t\in [/mm] [0, a) und weiß, dass eine Lösung mit x(0)=1 auf diesem Intervall monoton steigend ist, also [mm] x(t)\ge [/mm] 1.
Jetzt definiere ich [mm] \begin{cases} y(t)'=y(t)^3, & \\ y(0)=1 \end{cases} [/mm] ebenfalls monoton steigend auf [0,a) und es gilt jetzt:
(i) [mm] x(t)'\ge [/mm] y(t)' auf [0,a)
(ii) x(0)=1=y(0)
Das ist die Voraussetzung für den Vergleichssatz und es folgt: [mm] x(t)\ge [/mm] y(t). Und y(t) kann man explizit bestimmen:
[mm] y(t)=\bruch{1}{\wurzel{1-2t}} [/mm] und y(t) explodiert für [mm] t\to [/mm] 0,5 und ist für t [mm] \ge [/mm] 0,5 nicht definiert. Folgt daraus jetzt dass x(t) auch nicht für alle t>0 definiert ist? Eigentlich weiß ich doch nur, dass x(t) auch explodiert, weil x(t) ja immer gleich oder größer als y(t) ist. Aber die Lösung könnte ja eine ganz andere Form haben!?
Grüße, kullinarisch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Di 19.03.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn die Lösung explodiert, wie soll sie denn dann über den Pol weg"springe"
Gruss leduart
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