Existenz aufzeigen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Di 29.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | &0Sei $A$ in [mm] $M_{K}(2)$ [/mm] mit $A [mm] \ne [/mm] 0$, [mm] $A\ne E_{2}$ [/mm] und [mm] $A^{2}=A$. [/mm] Zeigen Sie, dass es $Q$ in [mm] $GL_{K}(2)$ [/mm] gibt, mit [mm] $A=Q\vektor{1&0\\0&0 } Q^{-1}$. [/mm] |
Hallo,
eine Bedingung für A ist [mm] $A^{2}=\vektor{a&b\\c & d}^{2} [/mm] = [mm] \vektor{a&b\\ c& d}=A$ [/mm]
Q hat die Form: [mm] $\vektor{w&0\\0&t}$ [/mm] und [mm] $Q^{-1}:\vektor{\frac{1}{w}&0\\ 0& \frac{1}{t}}$
[/mm]
[mm] $A=\vektor{w&0\\0&t} \vektor{1&0\\0&0} \vektor{\frac{1}{w}&0\\ 0& \frac{1}{t}}=\vektor{1&0\\0&0}$
[/mm]
Aber damit habe ich ja nur gezeigt dass es A gibt und nichts zu Q bewiesen...?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Di 29.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> &0Sei [mm]A[/mm] in [mm]M_{K}(2)[/mm] mit [mm]A \ne 0[/mm], [mm]A\ne E_{2}[/mm] und [mm]A^{2}=A[/mm].
> Zeigen Sie, dass es [mm]Q[/mm] in [mm]GL_{K}(2)[/mm] gibt, mit
> [mm]A=Q\vektor{1&0\\0&0 } Q^{-1}[/mm].
> Hallo,
>
> eine Bedingung für A ist [mm]A^{2}=\vektor{a&b\\c & d}^{2} = \vektor{a&b\\ c& d}=A[/mm]
>
> Q hat die Form: [mm]\vektor{w&0\\0&t}[/mm]
Wieso das denn ???
> und
> [mm]Q^{-1}:\vektor{\frac{1}{w}&0\\ 0& \frac{1}{t}}[/mm]
>
> [mm]A=\vektor{w&0\\0&t} \vektor{1&0\\0&0} \vektor{\frac{1}{w}&0\\ 0& \frac{1}{t}}=\vektor{1&0\\0&0}[/mm]
Das ist doch Quatsch !
>
>
> Aber damit habe ich ja nur gezeigt dass es A gibt
Hä ?
> und
> nichts zu Q bewiesen...?
So ist es.
Tipp: aus $ A [mm] \ne [/mm] 0 $, $ [mm] A\ne E_{2} [/mm] $ und $ [mm] A^{2}=A [/mm] $ folgt:
[mm] \lambda [/mm] ist Eigenwert von A [mm] \gdw \lambda=1 [/mm] oder [mm] \lambda=0.
[/mm]
Zeige dies !
Damit ist A diagonalisierbar (warum ?)
FRED
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Danke und Gruss
>
> kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Di 29.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
Charakteristisches Polynom: [mm] $det(A-\lambdaE)(1-\lambda)(\lambda)= \lambda [/mm] - [mm] \lambda^{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda(1-\lambda)=0 \gdw \lambda_{1}=0; \lambda_{2}=1$
[/mm]
Dann ist A diagonalisierbar wenn die Elemente der Eigenräume: [mm] $\vektor{1\\0}, \vektor{0\\1}$ [/mm] sind linear unabhängig und es lässt sich daraus A bilden also ist A diagonalisierbar.
Also diagonalisierbar und damit existiert auch Q.
?
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Di 29.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> Charakteristisches Polynom:
> [mm]det(A-\lambdaE)(1-\lambda)(\lambda)= \lambda - \lambda^{2}[/mm]
Wie kommst Du zu diesem Polynom ??
>
> [mm]\Rightarrow \lambda(1-\lambda)=0 \gdw \lambda_{1}=0; \lambda_{2}=1[/mm]
>
>
> Dann ist A diagonalisierbar wenn die Elemente der
> Eigenräume: [mm]\vektor{1\\0}, \vektor{0\\1}[/mm]
Wieso sind das Eigenvektoren von A. Woher weißt Du das ???
> sind linear
> unabhängig und es lässt sich daraus A bilden
Was soll das bedeuten.
also ist A
> diagonalisierbar.
>
>
>
> Also diagonalisierbar und damit existiert auch Q.
!.
>
Jetzt mach mal folgendes:
1. Mach Dich schlau, was "diagonalisierbar" bedeutet
2. Schau mal nach: Ihr hattet sicher Sätze der Art: A ist genau dann diagonalisierbar, wenn ....
Schau Dir die mal an.
FRED
> ?
>
>
>
> > FRED
>
> Danke
>
> Gruss
>
> kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Di 29.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
Ich habe die mittlere Matrix [mm] $\vektor{1&0\\0&0}$ [/mm] genommen und hiervon das charakteristische POlynom und die Eigenvektoren berechnet.
A ist genau dann diagonalisierbar wenn eine Basis aus Eigenvektoren existiert. ?
>FRED
Danke
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
Hallo kushkush,
> Hallo,
>
> Ich habe die mittlere Matrix [mm]\vektor{1&0\\0&0}[/mm] genommen und
> hiervon das charakteristische POlynom und die Eigenvektoren
> berechnet.
>
>
> A ist genau dann diagonalisierbar wenn eine Basis aus
> Eigenvektoren existiert. ?
>
Ja.
>
>
> >FRED
>
> Danke
>
>
> Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Di 29.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
Stimmt der Lösungsweg?
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
Hallo kushkush,
> Hallo Mathepower,
>
>
>
> Stimmt der Lösungsweg?
>
Bis jetzt hast Du nicht gezeigt,
daß [mm]\lambda_{1}=0[/mm] und [mm]\lambda_{2}=1[/mm] Eigenwerte von A sind.
>
>
>
> > Gruss
>
> Danke
>
> Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Di 29.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
Aus der Bedingung [mm] $A\ne E_{2}$ [/mm] folgt [mm] \lambda=1 [/mm] , aus der Bedingung [mm] $A\ne [/mm] 0$ folgt [mm] $\lambda [/mm] = 0$ ?
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
Hallo kushkush,
> Hallo Mathepower,
>
>
> Aus der Bedingung [mm]A\ne E_{2}[/mm] folgt [mm]\lambda=1[/mm] , aus der
> Bedingung [mm]A\ne 0[/mm] folgt [mm]\lambda = 0[/mm] ?
Das ist nicht richtig.
Betrachte die Gleichung [mm]A^{2}=A[/mm]
>
> > Gruss
>
> Danke
>
> Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:21 Mi 30.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Mathepower,
>
>
> Aus der Bedingung [mm]A\ne E_{2}[/mm] folgt [mm]\lambda=1[/mm] , aus der
> Bedingung [mm]A\ne 0[/mm] folgt [mm]\lambda = 0[/mm] ?
Das ist wieder die kushkush-im-Nebel-stochern-und- auf-Zufallsstreffer-hoffen-Mathematik ! So wird das auf Dauer aber nichts.
Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, also ex. ein x [mm] \in \IR^2 [/mm] mit x [mm] \ne [/mm] 0 und Ax= [mm] \lambda [/mm] x.
Dann folgt:
[mm] $\lambda [/mm] x= Ax = A^2x= [mm] A(Ax)=A(\lambda [/mm] x)= [mm] \lambda [/mm] Ax= [mm] \lambda^2 [/mm] x.$
Jetzt Du.
FRED
>
> > Gruss
>
> Danke
>
> Gruss
> kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Mi 30.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> dann folgt
[mm] $\lambda [/mm] x= [mm] \lambda^{2} [/mm] x$ [mm] $\Rightarrow \lambda=1$
[/mm]
[mm] $\lambda [/mm] x= [mm] \lambda [/mm] A x$ [mm] $\Rightarrow \lambda=0$
[/mm]
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
Hallo kushkush,
> Hallo
>
> > dann folgt
>
> [mm]\lambda x= \lambda^{2} x[/mm] [mm]\Rightarrow \lambda=1[/mm]
>
> [mm]\lambda x= \lambda A x[/mm] [mm]\Rightarrow \lambda=0[/mm]
>
Aus der Gleichung
[mm]\lambda x= \lambda^{2} x[/mm]
folgt doch schon [mm]\lambda=0[/mm] oder [mm]\lambda=1[/mm]
>
>
> > FRED
>
> Danke
>
>
> Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Mi 30.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
Danke
Gruss
kushkush
|
|
|
|
