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Forum "Schul-Analysis" - Existenz Lokaler Extrempunkte
Existenz Lokaler Extrempunkte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Existenz Lokaler Extrempunkte: Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:51 Fr 03.06.2005
Autor: JfS

Hallo,

ich habe folgendes Problem. Ich soll bei dieser Funktion  f(x)= [mm] \bruch{2}{(x-2)^2} [/mm]  , x [mm] \in \IR [/mm]  untersuchen ob nun Extrempunkte vorhanden sind. Wie mache ich das...?Ich habe absolut keinen Plan davon. Ich bitte um verständnis...
Danke im vorraus...
JfS


P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Existenz Lokaler Extrempunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Fr 03.06.2005
Autor: banachella

Hallo!

Habt ihr in der Schule schon Extrempunkte mit Hilfe von Ableitungen bestimmt?

Ansonsten hilft folgende Überlegung: Desto größer $x$ wird, umso größer wird auch [mm] $(x-2)^2$. [/mm] Also wird $f$ immer kleiner.
Und wenn $x$ nahe an $2$ heranrückt, wird [mm] $(x-2)^2$ [/mm] immer kleiner, $f(x)$ also immer größer.
Da $2$ ja nicht in der Definitionsmenge enthalten sein kann, und das jetzt unser einziger Kandidat für eine Extremalstelle ist (weil's der einzige Punkt ist, für den $f(x)$ größer wird, wenn $x$ darauf zuläuft, und $f(x)$ kleiner wird, wenn $x$ sich davon entfernt), kann es keine Extremalpunkte geben.

Gruß, banachella
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Existenz Lokaler Extrempunkte: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:19 Fr 03.06.2005
Autor: JfS

Hallo,

also ist die erste Ableitung : [mm] f'(x)=\bruch{2}{2x-x} [/mm] ?
Und diese müsste ich dann Nullsetzen, das würde dann bedeuten
[mm] 0=\bruch{2}{2x-x} [/mm] ?
Und wie lauten dann die Punkte?

Danke im vorraus..
JfS
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Bezug
Existenz Lokaler Extrempunkte: Ableitung falsch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:55 Fr 03.06.2005
Autor: Loddar

Hallo JfS,

[willkommenmr] !


> also ist die erste Ableitung : [mm]f'(x)=\bruch{2}{2x-x}[/mm] ?

[notok] Das stimmt leider nicht!

Du kannst die Funktion erstmal umformen:

$f(x) \ = \ [mm] \bruch{2}{(x-2)^2} [/mm] \ = \ [mm] 2*(x-2)^{-2}$ [/mm]


Nun kannst Du nach der MBPotenzregel die Ableitung bilden:

$f'(x) \ = \ [mm] 2*(-2)*(x-2)^{-3} [/mm] \ = \ [mm] -4*(x-2)^{-3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-4}{(x-2)^3}$ [/mm]


Beim Nullsetzen nun beachten: Ein Bruch ist genau dann Null, wenn der Zähler Null wird!


Gruß
Loddar

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Existenz Lokaler Extrempunkte: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Fr 03.06.2005
Autor: JfS

Hallo Loddar,

$f'(x) \ = \ [mm] 2*(-2)*(x-2)^{-3} [/mm] \ = \ [mm] -4*(x-2)^{-3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-4}{(x-2)^3}$ [/mm]  [verwirrt]

Wie machst Du das mit der Produktregel?[verwirrt]
Ich komme selbst mit dem Link, den Du mir gegeben hast nicht weiter....
Danke im vorraus

JfS
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Bezug
Existenz Lokaler Extrempunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:03 Fr 03.06.2005
Autor: banachella

Hallo!

Eigentlich machst du das mit der Kettenregel:
[mm] $h(x):=2x^{-2},\ [/mm] g(x):=x-2$. Dann ist [mm] $h'(x)=2*(-2)*x^{-3}$ [/mm] und $g'(x)=1$.

Kettenregel: [mm] $\big(h(g(x))\big)'=h'(g(x))*g'(x)$. [/mm]

Also gilt mit [mm] $h'(g(x))=-4*(x-2)^{-3}$: [/mm]
$f'(x)= [mm] \big(h(g(x))\big)'=-4*(x-2)^{-3}*1=-\bruch{4}{(x-2)^3}$... [/mm]

Gruß, banachella
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