Existenz Integral < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Sa 11.02.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Zeige, daß das folgende Integral ex. ohne es zu berechnen.
[mm] $I:=\int_{1}^{\infty}\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{x^2}\, [/mm] dx$ |
Hi, ich muss doch die Konvergenz zeigen und dazu wollte ich abschätzen.
[mm] $I\leq \int_1^{\infty}\ln(1+\sqrt{x})\, dx\leq [/mm] ...$
Weiter komme ich aber leider nicht, wer hat eine Idee?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:44 Sa 11.02.2012 | | Autor: | mikexx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Kann man vielleicht so abschätzen:
$I<\int_1^{\infty}\ln(1+\sqrt{x}})\, dx$ für $x>1$?
Und dann weiter:
$\int_1^{\infty}\ln(1+\sqrt{x})\, dx<\int_1^{\infty}1+\sqrt{x}\, dx<\int_1^{\infty}1+x\, dx=\infty}$
?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Sa 11.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Das ist so nicht richtig.
Wenn Du die Existenz zeigen willst, musst Du nach dem sog. Majorantenkriterium eine Funktion g finden für die gilt, daß
[mm] $\left\vert\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{x^2}\right\vert=\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{x^2}\leq [/mm] g$ und [mm] $\int_1^{\infty}g(x)\, dx<\infty$
[/mm]
Allerdings sehe ich gerade selbst keine solche passende Funktion $g$.
Vielleicht sieht das jemand anders?
LG
Dennis
EDIT: Ah, jetzt hab' ich's. Die Log-Funktion wächst langsamer als jede Potenzfunktion. Wähle also für den Zähler der gesuchten Funktion g einfach eine Potenzfunktion mit Exponent kleiner 1. Dann hast Du so eine Funktion g und das Majorantenkriterium sagt, daß Dein Integral existiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 So 12.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Für positive t ist [mm] e^t \ge [/mm] 1+t, also ist
ln(1+t) [mm] \le [/mm] t
Damit folgt: [mm] \frac{\ln(1+\sqrt{x})}{x^2} \le \frac{\sqrt{x}}{x^2}
[/mm]
FRED
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