Existenz Grenzwert < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Berechnen Sie den folgenden Grenzwert (sofern er existiert):
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\bruch{x^{2}+y^{2}}{1-\wurzel{x^{2}+y^{2}+1}})
[/mm]
b) Ermitteln Sie alle [mm] \lambda \in\IR [/mm] für die sich [mm] f_{\lambda}:\IR^{2}\backslash {(0,0)}\to\IR [/mm] mit
[mm] f_{\lambda}(x,y):=\bruch{x^{2}(1+x^{2}+y^{2})+2y^{2}}{2x^{2}+(2\lambda^{2}+2)y^{2}} [/mm] |
zu a)
Bin folgendermaßen vorgegangen:
y=0: [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\bruch{x^{2}}{1-\wurzel{x^{2}+1}})=-2
[/mm]
y=x: [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\bruch{2x^{2}}{1-\wurzel{2x^{2}+1}})=-2
[/mm]
y=2x: [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\bruch{5x^{2}}{1-\wurzel{5x^{2}+1}})=-2
[/mm]
reicht dies nun schon um zu behaupten f besitzt in (0,0) den Grenzwert -2?
zu b) muss ich erstmal noch bißchen probieren und stelle zu späterem Zeitpunkt meine Frage
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Sa 04.07.2015 | | Autor: | abakus |
> a) Berechnen Sie den folgenden Grenzwert (sofern er
> existiert):
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\bruch{x^{2}+y^{2}}{1-\wurzel{x^{2}+y^{2}+1}})[/mm]
>
> b) Ermitteln Sie alle [mm]\lambda \in\IR[/mm] für die sich
> [mm]f_{\lambda}:\IR^{2}\backslash {(0,0)}\to\IR[/mm] mit
>
> [mm]f_{\lambda}(x,y):=\bruch{x^{2}(1+x^{2}+y^{2})+2y^{2}}{2x^{2}+(2\lambda^{2}+2)y^{2}}[/mm]
> zu a)
>
> Bin folgendermaßen vorgegangen:
>
> y=0:
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\bruch{x^{2}}{1-\wurzel{x^{2}+1}})=-2[/mm]
>
> y=x:
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\bruch{2x^{2}}{1-\wurzel{2x^{2}+1}})=-2[/mm]
>
> y=2x:
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\bruch{5x^{2}}{1-\wurzel{5x^{2}+1}})=-2[/mm]
>
> reicht dies nun schon um zu behaupten f besitzt in (0,0)
> den Grenzwert -2?
Nein, Beispiele sind kein Beweis.
Wenn du zu Polarkoordinaten übergehst, dann ist
(Editiert:) [mm]\limes_{r\rightarrow0}(\bruch{r^{2}}{1-\wurzel{r^{2}+1}})[/mm]
zu ermitteln. Dieser Grenzwert hängt nicht von der Annäherungsrichtung ab.
Gruß Abakus
>
> zu b) muss ich erstmal noch bißchen probieren und stelle
> zu späterem Zeitpunkt meine Frage
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Sa 04.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> > a) Berechnen Sie den folgenden Grenzwert (sofern er
> > existiert):
> >
> >
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\bruch{x^{2}+y^{2}}{1-\wurzel{x^{2}+y^{2}+1}})[/mm]
> >
> > b) Ermitteln Sie alle [mm]\lambda \in\IR[/mm] für die sich
> > [mm]f_{\lambda}:\IR^{2}\backslash {(0,0)}\to\IR[/mm] mit
> >
> >
> [mm]f_{\lambda}(x,y):=\bruch{x^{2}(1+x^{2}+y^{2})+2y^{2}}{2x^{2}+(2\lambda^{2}+2)y^{2}}[/mm]
> > zu a)
> >
> > Bin folgendermaßen vorgegangen:
> >
> > y=0:
> >
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\bruch{x^{2}}{1-\wurzel{x^{2}+1}})=-2[/mm]
> >
> > y=x:
> >
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\bruch{2x^{2}}{1-\wurzel{2x^{2}+1}})=-2[/mm]
> >
> > y=2x:
> >
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}(\bruch{5x^{2}}{1-\wurzel{5x^{2}+1}})=-2[/mm]
> >
> > reicht dies nun schon um zu behaupten f besitzt in
> (0,0)
> > den Grenzwert -2?
>
> Nein, Beispiele sind kein Beweis.
> Wenn du zu Polarkoordinaten übergehst, dann
> ist [mm]\limes_{r\rightarrow0}(\bruch{2r^{2}}{1-\wurzel{2r^{2}+1}})[/mm]
Doch eher [mm][mm] \limes_{r\rightarrow0}(\bruch{r^{2}}{1-\wurzel{r^{2}+1}})
[/mm]
FRED
> zu ermitteln. Dieser Grenzwert hängt nicht von der
> Annäherungsrichtung ab.
> Gruß Abakus
>
> >
> > zu b) muss ich erstmal noch bißchen probieren und
> stelle
> > zu späterem Zeitpunkt meine Frage
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Sa 04.07.2015 | | Autor: | abakus |
>
> Doch eher
> [mm][mm]\limes_{r\rightarrow0}(\bruch{r^{2}}{1-\wurzel{r^{2}+1}})[/mm]
Danke! Ich werde es editieren.
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AH ok also das mit den Beispielen kann ich also nur machen, wenn ich dadurch zwei verschiedene GW für (0,0) rausfinde oder?
Dann reicht es zu zeigen dass der [mm] \limes_{r\rightarrow 0}\bruch{r^{2}}{1-\wurzel{r^{2}+1}}=-2 [/mm] ist?
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Hallo Martin,
> siehe oben
> AH ok also das mit den Beispielen kann ich also nur
> machen, wenn ich dadurch zwei verschiedene GW für (0,0)
> rausfinde oder?
Ja, wie bei allen zu zeigenden Behauptungen: ein einziges Gegenbeispiel reicht, und die Behauptung ist falsch. Umgekehrt reicht es aber auch dann nicht, wenn Du unendlich viele Beispiele findest, für die die Behauptung stimmt. Damit ist sie immer noch nicht bewiesen.
> Dann reicht es zu zeigen dass der [mm]\limes_{r\rightarrow 0}\bruch{r^{2}}{1-\wurzel{r^{2}+1}}=-2[/mm]
> ist?
Ja, das reicht. Damit erledigst Du nicht nur unendlich viele Fälle, sondern alle.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:03 So 05.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
Ich möchte eine generelle Warnung zur Polarkoordinatenmethode aussprechen:
Sei [mm] $f\colon\IR^2\to\IR$.
[/mm]
Wenn nun
[mm] $\lim_{r\to 0}f(r*\cos\varphi,r*\sin\varphi)$
[/mm]
für jedes [mm] $\varphi\in\IR$ [/mm] existiert und alle diese Grenzwerte übereinstimmen, muss noch lange nicht
[mm] $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$
[/mm]
existieren.
In der hier behandelten Aufgabe geht das Verfahren nur deshalb gut, weil [mm] $f(r*\cos\varphi,r*\sin\varphi)$ [/mm] hier (für jedes $r$) gar nicht von [mm] $\varphi$ [/mm] abhängt.
Viele Grüße
Tobias
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