Exaktheit & Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Mi 15.06.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass folgende DGL exakt ist, und lösen Sie diese (es genügen implizit angegebene Lösungen)
[mm] y^{3}+3xy^{2}y' [/mm] = 0 |
Wie überprüfe ich dies auf Exaktheit? Ich denke mal mit der Integrabilitätsbedingung [mm] A_{y}=B_{x} [/mm] , oder? A müsste dann hier [mm] y^{3} [/mm] sein, und B [mm] 3xy^{2} [/mm] oder? diese dann jeweils nach x bzw. y ableiten und dann vergleichen ob das gleiche ergebnis rauskommt odeR?
wie löse ich dann diese gleichung? was meint man mit iplizit angegebener lösung?
dank für die hilfe schon mal,
lg mark
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Mi 15.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass folgende DGL exakt ist, und lösen Sie
> diese (es genügen implizit angegebene Lösungen)
>
> [mm]y^{3}+3xy^{2}y'[/mm] = 0
> Wie überprüfe ich dies auf Exaktheit? Ich denke mal mit
> der Integrabilitätsbedingung [mm]A_{y}=B_{x}[/mm] , oder?
Ja
> A müsste
> dann hier [mm]y^{3}[/mm] sein, und B [mm]3xy^{2}[/mm] oder?
Ja
> diese dann
> jeweils nach x bzw. y ableiten und dann vergleichen ob das
> gleiche ergebnis rauskommt odeR?
>
> wie löse ich dann diese gleichung? was meint man mit
> iplizit angegebener lösung?
Bestimme eine Funktion F [mm] :\IR^2 \to \IR [/mm] mit : grad F=(A,B)
Ist y eine Lösung der DGL, so gibt es eine C [mm] \in \IR [/mm] mit: F(x,y(x))=C
FRED
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> dank für die hilfe schon mal,
>
> lg mark
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Mi 15.06.2011 | | Autor: | mwieland |
hallo! danke mal für deine schnelle antwort, kann aber leider nicht viel anfangen damit, sry...
könntest du mir das vl in anderen worten, laienhafter sozusagen (oder anhand eines bsp) erklären?
danke vielmals, lg
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Hallo mwieland,
> hallo! danke mal für deine schnelle antwort, kann aber
> leider nicht viel anfangen damit, sry...
>
> könntest du mir das vl in anderen worten, laienhafter
> sozusagen (oder anhand eines bsp) erklären?
Nun, dann kannst Du die implizite Lösung direkt
durch Integration ermitteln.
Lösungen sind hier [mm]F\left(x,y\right)=c, \ c in \IR[/mm]
Das totale Differential genügt dann der Gleichung
[mm]\bruch{\partial F}{\partial x} \ dx + \bruch{\partial F}{\partial y} \ dy=0[/mm]
Ein Vergleich mit der exakten DGL
[mm]A\left(x,y}\right)+B\left(x,y\right)*y'=0[/mm]
liefert
[mm]\bruch{\partial F}{\partial x}=A\left(x,y\right)[/mm]
[mm]\bruch{\partial F}{\partial y}=B\left(x,y\right)[/mm]
Dies kannst Du jetzt integrieren.
Zunächst ist doch
[mm]F\left(x,y\right)=\integral_{}^{}{A\left(x,y\right) \ dx}+k\left(y\right)[/mm]
Dies wird jetz nach y differenziert und mit B(x,y) verglichen.
Daraus ergibt sich dann die fehlende Funktion k(y).
>
> danke vielmals, lg
Gruss
MathePower
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