Exakte Sequenz von Tensoren < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Sa 04.06.2011 | | Autor: | shadee |
| Aufgabe | | Sei 0 [mm] \to V_1 \to^f V_2 \to^g V_3 \to [/mm] 0 eine kurze exakte Sequenz von K Vektorräumen. Sei nun W ein weiterer K Vektorraum. Zeige, dass die Sequenz [mm] V_1 \otimes [/mm] W [mm] \to^{f \otimes id} V_2 \otimes [/mm] W [mm] \to^{g \otimes id} \to V_3 \otimes [/mm] W [mm] \to [/mm] 0 exakt ist. |
Hab das ganze versucht über ein kommutatives Diagramm zu lösen, komme da aber nicht wirklich weiter. Dann hab ich mir noch mal die Definition von kurzer exakte Sequenz angeschaut. Ich muss zeigen, dass f [mm] \otimes [/mm] id injektiv, g [mm] \otimes [/mm] id surjektiv ist und ker g [mm] \otimes [/mm] id = im f [mm] \otimes [/mm] id. Ich vermute mal ich kann dazu die obere Sequenz benutzen, bin aber nicht ganz im Bilde, wie ich die in Beziehung setzen kann.
id bildet ja ein Element auf sich selbst ab. Daher kommt es immer zu dem w am Ende, aber ich weiß nicht, wie ich das mathematisch genau ausdrücken kann.
Kann mir jemand n schubs geben bitte. Danke
|
|
| |
|
Hallo Shadee!
> Sei 0 [mm]\to V_1 \to^f V_2 \to^g V_3 \to[/mm] 0 eine kurze exakte
> Sequenz von K Vektorräumen. Sei nun W ein weiterer K
> Vektorraum. Zeige, dass die Sequenz [mm]V_1 \otimes[/mm] W [mm]\to^{f \otimes id} V_2 \otimes[/mm]
> W [mm]\to^{g \otimes id} \to V_3 \otimes[/mm] W [mm]\to[/mm] 0 exakt ist.
> Hab das ganze versucht über ein kommutatives Diagramm zu
> lösen, komme da aber nicht wirklich weiter. Dann hab ich
> mir noch mal die Definition von kurzer exakte Sequenz
> angeschaut. Ich muss zeigen, dass f [mm]\otimes[/mm] id injektiv,
Die Injektivität von $f [mm] \otimes [/mm] id$ muss nach obiger Formulierung der Aufgabe nicht gezeigt werden, oder soll es $0 [mm] \rightarrow V_1 \otimes [/mm] W [mm] \stackrel{f \otimes id}{\rightarrow} V_2 \otimes W\stackrel{g \otimes id}{\rightarrow} V_3 \otimes W\rightarrow [/mm] 0$ heißen?
> g [mm]\otimes[/mm] id surjektiv ist und ker g [mm]\otimes[/mm] id = im f
> [mm]\otimes[/mm] id. Ich vermute mal ich kann dazu die obere Sequenz
> benutzen, bin aber nicht ganz im Bilde, wie ich die in
> Beziehung setzen kann.
>
> id bildet ja ein Element auf sich selbst ab. Daher kommt es
> immer zu dem w am Ende, aber ich weiß nicht, wie ich das
> mathematisch genau ausdrücken kann.
>
> Kann mir jemand n schubs geben bitte. Danke
Dass $g [mm] \otimes [/mm] id$ surjektiv ist, sieht man beispielsweise so:
Sei [mm] $v\otimes [/mm] w$ ein beliebiger zerlegbarer Tensor von [mm] $V_3 \otimes [/mm] W$. Dann ist existiert wegen der Surjektivität von $g$ ein $u [mm] \in V_2$ [/mm] mit [mm] $(g\otimes \text{id})(u\otimes [/mm] w) = [mm] (g(u)\otimes \text{id}(w)) =(g(u)\otimes [/mm] w) = [mm] v\otimes [/mm] w$. Da die zerlegbaren Tensoren von [mm] $V_3 \otimes [/mm] W$ ein $K$-Erzeugendensystem von [mm] $V_3 \otimes [/mm] W$ bilden, findet sich ein [mm] $g\otimes \text{id}$-Urbild [/mm] zu allen Tensoren von [mm] $V_3 \otimes [/mm] W$.
LG mathfunnel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 So 05.06.2011 | | Autor: | shadee |
Danke erstmal für die Antwort. Das geht in die Richtung wie ichs mir gedacht habe, aber ich konnts wie gesagt nicht so formulieren, dass das ein Mathematiker akzeptiert. Es steht keine 0 am Anfang, aber ich vermute mal, die soll da eigentlich stehen.
Die injektivität zu zeigen ist ja eig trivial. Man muss zeigen, dass für gleiche Bilder gilt, dass man auch gleiche Argumente hat.
Nur mit Kern und Bild zeigen hab ich immer Probleme.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 So 05.06.2011 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo shadee!
> Danke erstmal für die Antwort. Das geht in die Richtung
> wie ichs mir gedacht habe, aber ich konnts wie gesagt nicht
> so formulieren, dass das ein Mathematiker akzeptiert. Es
> steht keine 0 am Anfang, aber ich vermute mal, die soll da
> eigentlich stehen.
>
> Die injektivität zu zeigen ist ja eig trivial. Man muss
> zeigen, dass für gleiche Bilder gilt, dass man auch
> gleiche Argumente hat.
>
> Nur mit Kern und Bild zeigen hab ich immer Probleme.
Ich denke nicht, dass man die Injektivität als trivial bezeichnen kann. Hier kann man gewisse Eigenschaften von Vektorräumen ausnutzen, um die Injektivität zu zeigen!
Die Gleichheit von Kern und Bild, zeigt man, wie meist bei Mengengleichungen, via Kern [mm] $\subseteq$ [/mm] Bild und Bild [mm] $\subseteq$ [/mm] Kern.
Es hilft oft, wenn man die Aussagen exakt aufschreibt.
Dann steht auch die Lösung oft schon fast da. Also solltest Du das exakte Formulieren üben.
LG mathfunnel
|
|
|
|
