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| Aufgabe | Ermitteln Sie zu folgender Differentialgkleichung den passenden Integrierenden Faktor und bestimmen Sie damit die Lösung:
[mm] (4+6x+y^2) [/mm] dx +4y*(1+x) dy = 0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo und guten Morgen!
Ich habe o. a. Beispiel nun schon 3 mal gerechnet und komme einfach nicht auf die Lösung unseres Professors! Könnte sich bitte jemand den Lösungsweg ansehen und mir sagen, wo der Fehler liegt??
a) Kontrolle der Exaktheit:
P = [mm] (4+6x+y^2) [/mm] dx , [mm] P_{y} [/mm] = 2y
Q = 4y+4xy, [mm] Q_{x} [/mm] = 4y
Da [mm] P_{y} \not= Q_{x} \Rightarrow [/mm] Differentialgleichung nicht exakt!
b) Eulerscher Multiplikator:
[mm] \bruch{P_{y}-Q_{x}}{Q} [/mm] = [mm] \bruch{2y-4y}{4y+4xy} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{2*(x+1)} \Rightarrow [/mm] da dieser Therm nur noch von x abhängig ist folgt folgender Ansatz:
[mm] \mu [/mm] = [mm] e^{\integral{\bruch{P_{y}-Q_{x}}{Q} dx}} [/mm]
[mm] \mu =e^{\integral{\bruch{-1}{2*(x+1)} dx}
\mu= e^(\bruch{-ln(|x+1|)}{2}
\mu = \bruch{1}{\wurzel{|x+1|}}
c) exakte Differentialgleichung:
(4+6x+y^2)*(\bruch{1}{\wurzel{|x+1|}}) dx + (4y*(1+x))*(\bruch{1}{\wurzel{|x+1|}}) dy = 0
Kann ich hier die Betragsfunktionen unterhalb der Wurzel weglassen, wenn ich fordere: x \ge 0
P^{\*} = \bruch{4+6x+y^2}{\wurzel{x+1}}
Q^{\*} = 4*\wurzel{x+1}*y
F_{x,y} = \integral{Q^{\*} dy} = \integral{4*\wurzel{x+1}*y} [/mm] dy}
[mm] F_{x,y} [/mm] = [mm] 2*y^2*\wurzel{x+1} [/mm] + [mm] \nu_{x}
[/mm]
[mm] F_{X}= P^{\*}
[/mm]
[mm] \bruch{y^2}{\wurzel{x+1}}+ \nu^{STRICH}_{x} [/mm] = [mm] \bruch{4+6x+y^2}{\wurzel{x+1}}
[/mm]
[mm] \nu^{STRICH}_{x} [/mm] = [mm] \bruch{6x+4}{\wurzel{x+1}}
[/mm]
[mm] \nu_{x}= 4x*\wurzel{x+1} [/mm] + [mm] C_{1}
[/mm]
[mm] F_{x,y} [/mm] = [mm] 2*y^2*\wurzel{x+1} [/mm] + [mm] 4x*\wurzel{x+1}+ C_{1}
[/mm]
[mm] F_{x,y} [/mm] = [mm] 2*\wurzel{x+1}*(2x+y^2) [/mm] = K
Vielen Dank für eure Hilfe, bzw. einen Tipp, wo der Fehler liegt!!
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Hallo handballer1988,
> Ermitteln Sie zu folgender Differentialgkleichung den
> passenden Integrierenden Faktor und bestimmen Sie damit die
> Lösung:
>
> [mm] $(4+6x+y^2) \; [/mm] dx +4y*(1+x) [mm] \;dy [/mm] = 0$
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo und guten Morgen!
>
> Ich habe o. a. Beispiel nun schon 3 mal gerechnet und komme
> einfach nicht auf die Lösung unseres Professors! Könnte
> sich bitte jemand den Lösungsweg ansehen und mir sagen, wo
> der Fehler liegt??
>
> a) Kontrolle der Exaktheit:
>
> P = [mm](4+6x+y^2)[/mm] dx , [mm]P_{y}[/mm] = 2y
> Q = 4y+4xy, [mm]Q_{x}[/mm] = 4y
>
> Da [mm]P_{y} \not= Q_{x} \Rightarrow[/mm] Differentialgleichung
> nicht exakt!
Richtig.
> b) Eulerscher Multiplikator:
>
> [mm]\bruch{P_{y}-Q_{x}}{Q}[/mm] = [mm]\bruch{2y-4y}{4y+4xy}[/mm] =
> [mm]\bruch{-1}{2*(x+1)} \Rightarrow[/mm] da dieser Therm nur noch
> von x abhängig ist folgt folgender Ansatz:
>
> [mm]\mu[/mm] = [mm]e^{\integral{\bruch{P_{y}-Q_{x}}{Q} dx}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> $\mu =e^{\integral{\bruch{-1}{2*(x+1)} dx} $
>$\mu= e^(\bruch{-ln(|x+1|)}{2}$
>$\mu = \frac{1}{\wurzel{|x+1|}}$
Richtig.
c) exakte Differentialgleichung:
$(4+6x+y^2)*\left(\bruch{1}{\wurzel{|x+1|}}\right) dx + (4y*(1+x))*\left(\bruch{1}{\wurzel{|x+1|}}\right) dy = 0$
Richtig.
>Kann ich hier die Betragsfunktionen unterhalb der Wurzel weglassen, wenn ich fordere: $x \ge 0 $
Ginge nicht auch: $x \ge -1$ ?
Ich bin aber kein Mathematiker.
Wolfram Integrator sagt: $\int \bruch{4+6x+y^2}{\wurzel{|x+1|}}\; dx $ lässt sich nicht integrieren; $\int \bruch{4+6x+y^2}{\wurzel{x+1}}\; dx $ aber schon.
P^{\*} = \bruch{4+6x+y^2}{\wurzel{x+1}}
Q^{\*} = 4*\wurzel{x+1}*y
F_{x,y} = \integral{Q^{\*} dy} = \integral{4*\wurzel{x+1}*y}[/mm]
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> [mm]F_{x,y}[/mm] = [mm]2*y^2*\wurzel{x+1}[/mm] + [mm]\nu_{x}[/mm]
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> [mm]F_{X}= P^{\*}[/mm]
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> [mm]\bruch{y^2}{\wurzel{x+1}}+ \nu^{STRICH}_{x}[/mm] =
> [mm]\bruch{4+6x+y^2}{\wurzel{x+1}}[/mm]
>
> [mm]\nu^{STRICH}_{x}[/mm] = [mm]\bruch{6x+4}{\wurzel{x+1}}[/mm]
>
> [mm]\nu_{x}= 4x*\wurzel{x+1}[/mm] + [mm]C_{1}[/mm]
>
> [mm]F_{x,y}[/mm] = [mm]2*y^2*\wurzel{x+1}[/mm] + [mm]4x*\wurzel{x+1}+ C_{1}[/mm]
Das Schöne bei dieser Art von Aufgaben ist ja, dass man einfach durch Ableiten überprüfen kann, ob die Lösung richtig ist.
[mm]F(x,y) = 2*y^2*\wurzel{x+1} +4*x*\wurzel{x+1}+ C_{1}[/mm]
[mm] $\frac{\partial F}{\partial x} \; [/mm] = [mm] \; \frac{2y^2}{2*\sqrt{1+x}}+4*\sqrt{1+x}+\frac{4x}{2*\sqrt{1+x}} \; =\; \frac{y^2+4*(1+x)+2x}{\sqrt{1+x}}\; [/mm] = [mm] \; \; \frac{4+6x+y^2}{\sqrt{1+x}}$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial F}{\partial y} \; [/mm] = [mm] \;4*y*\sqrt{1+x}\; [/mm] = [mm] \; \frac{4*y*(1+x)}{\sqrt{1+x}} \; =\; \; \frac{4\;xy+4\;y}{\sqrt{1+x}}$
[/mm]
... so ich mich nicht verrechnet habe.
> [mm]F_{x,y}[/mm] = [mm]2*\wurzel{x+1}*(2x+y^2)[/mm] = K
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> Vielen Dank für eure Hilfe, bzw. einen Tipp, wo der Fehler
> liegt!!
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LG, Martinius
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