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Forum "Differentialgleichungen" - Exakte Differentialgleichung
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Exakte Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Sa 09.12.2023
Autor: Euler123

Aufgabe
Ist die Differentialgleichung
[mm] \boldsymbol{e}^{x} \sin (x)+\boldsymbol{e}^{y(x)} \cos [/mm] (y(x)) [mm] y^{\prime}(x)=0 [/mm]
exakt? Bestimmen Sie die allgemeine Lösung zur Differentialgleichung.

Hallo zusammen,

Es sei D [mm] \subset \mathbb{R}^{2} [/mm] ein Gebiet und g, h: D [mm] \rightarrow \mathbb{R}. [/mm] Die Differentialgelichung g(x, y)+h(x, y) [mm] y^{\prime}=0 [/mm] heißt exakt, falls eine Stammfunktion von (g, h) existiert.

Dafür hätte ich nun erst einmal die partiellen Ableitungen der Funktionen g(x, [mm] y)=e^{x} \sin [/mm] (x) und h(x, y)= [mm] \) \( e^{y} \cos [/mm] (y) berechnet:

[mm] \frac{\partial}{\partial y} [/mm] g(x, y)=0 (da g(x, [mm] y)=e^{x} \sin [/mm] (x) und unabhängig von y ist)
[mm] \frac{\partial}{\partial x} [/mm] h(x, [mm] y)=e^{y(x)} \sin [/mm] (y(x)) [mm] \cdot y^{\prime}(x)-e^{y(x)} \sin [/mm] (y(x))

Somit ist diese Differentialgleichung nicht exakt????

Für die allgemeine Lösung hätte ich dann [mm] \int e^{y} \cos [/mm] (y) [mm] \mathrm{d} y=\int-e^{x} \sin [/mm] (x) [mm] \mathrm{d} [/mm] x gelöst, wo dann [mm] -e^{x} \sin (x)+e^{x} \cos [/mm] (x)+C herauskommt.

Habe ich das so richtig gemacht???

LG Euler

"Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt"

        
Bezug
Exakte Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 So 10.12.2023
Autor: Martinius

Hallo Euler123,

Deine DGL:  [mm] $(e^x*sin(x))\;dx+(e^y*cos(y))\;dy=0$ [/mm]

wobei [mm] $g(x,y)=e^x*sin(x)$ [/mm] und [mm] $h(x,y)=e^y*cos(y)$ [/mm]

Integrabilitätsbedingung: [mm] $\frac{\partial g}{\partial y}=0$ [/mm]  und  [mm] $\frac{\partial h}{\partial x}=0$ [/mm] ist erfüllt.

Damit ist die DGL exakt.

$G(x,y)= [mm] \int e^x*sin(x) \;dx= \frac{1}{2}*e^x*(sin(x)-cos(x))+f(y)+C_1$ [/mm]

$H(x,y)= [mm] \int e^y*sin(y) \;dy= \frac{1}{2}*e^y*(sin(y)-cos(y))+f(x)+C_2$ [/mm]

wobei: [mm] $f(y)=\frac{1}{2}*e^y*(sin(y)-cos(y))$ [/mm]  und  $f(x)= [mm] \frac{1}{2}*e^x*(sin(x)-cos(x))$ [/mm]

Die Lösung ist damit:

$F(x,y)= [mm] \frac{1}{2}*e^x*(sin(x)-cos(x))+ \frac{1}{2}*e^y*(sin(y)-cos(y))+C=0$ [/mm]

Hoffentlich ohne Fehler.

LG, Martinius

P.S. 1 Tippfehler berichtigt.

Bezug
                
Bezug
Exakte Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:44 So 10.12.2023
Autor: Euler123

Hallo Martinius,
Herzlichsten Dank für deine Antwort - das mit der Exaktheit habe ich jetzt verstanden (hat mich anfangs etwas verwirrt - die Argumentation für g und h ist auch die gleiche, wie ich nun sehe).
Habe das jetzt alles nochmals genau durchgerechnet und komme nun auf die selbe allgemeine Lösung wie du :)
LG Euler

Bezug
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