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Hallo,
ich habe eine Frage zur exakten Dgl:
f(x,y) + g(x,y)*y' =0
Dazu haben wir folgenden Satz aufgeschrieben:
Vorgelegt sei eine Dgl wie oben beschrieben. Ferner seien I [mm] \subset \IR [/mm] ein Intervall, y [mm] \in [/mm] D(I) mit (x,y(x)) [mm] \in \IR \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I.
Ferner sei F eine Stammfunktion zu (f,g) auf R. Dann gilt:
(y,I) ist eine Lösung von der obigen Dgl gdw. F(x,y(x)) ist konstant auf I.
Beweis:
(y,I) Lösung von obiger Dgl. auf I gdw. f(x,y(x)) + g(x,y(x))*y'(x)=0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I
gdw. [mm] F_{x}(x,y(x))+F_{y}(x,y(x))*y'(x)=0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I
gdw. [mm] \bruch{d}{dx}(F(x,y(x))= [/mm] 0 auf I gdw. F(x,y(x))=const. auf I
Zu meinen Fragen:
1. Wieso muss F konstant sein? F ist doch eine Funktion in Abhängigkeit von x und y, die nach x differenziert g ergibt und nach y differenziert f ergibt. Irgendwie verstehe ich den Satz anscheinend nicht richtig...
2. Wenn ich den Satz nicht richtig verstehe, kann ich erst recht den Beweis nicht verstehen...?
DANKE !
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Di 18.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe eine Frage zur exakten Dgl:
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> f(x,y) + g(x,y)*y' =0
>
> Dazu haben wir folgenden Satz aufgeschrieben:
> Vorgelegt sei eine Dgl wie oben beschrieben. Ferner seien
> I [mm]\subset \IR[/mm] ein Intervall, y [mm]\in[/mm] D(I) mit (x,y(x)) [mm]\in \IR \forall[/mm]
> x [mm]\in[/mm] I.
> Ferner sei F eine Stammfunktion zu (f,g) auf R. Dann
> gilt:
> (y,I) ist eine Lösung von der obigen Dgl gdw. F(x,y(x))
> ist konstant auf I.
>
> Beweis:
> (y,I) Lösung von obiger Dgl. auf I gdw. f(x,y(x)) +
> g(x,y(x))*y'(x)=0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] I
> gdw. [mm]F_{x}(x,y(x))+F_{y}(x,y(x))*y'(x)=0 \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] I
> gdw. [mm]\bruch{d}{dx}(F(x,y(x))=[/mm] 0 auf I gdw.
> F(x,y(x))=const. auf I
>
> Zu meinen Fragen:
> 1. Wieso muss F konstant sein? F ist doch eine Funktion in
> Abhängigkeit von x und y, die nach x differenziert g
> ergibt und nach y differenziert f ergibt. Irgendwie
> verstehe ich den Satz anscheinend nicht richtig...
Sei (y,I) eine Lsg der DGL. Nicht F muß konstant auf I sein, sondern die Funktion x [mm] \to [/mm] F(x,y(x)).
FRED
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> 2. Wenn ich den Satz nicht richtig verstehe, kann ich erst
> recht den Beweis nicht verstehen...?
>
> DANKE !
>
> Gruß
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In dem Beweis steht ja
[mm] \bruch{d}{dx}(F(x,y(x))=0
[/mm]
Wieso =0? Denn F(x,y(x)) differenziert nach x soll doch eigentlich f(x,y) ergeben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Di 18.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> In dem Beweis steht ja
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> [mm]\bruch{d}{dx}(F(x,y(x))=0[/mm]
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> Wieso =0? Denn F(x,y(x)) differenziert nach x soll doch
> eigentlich f(x,y) ergeben.
Nein. Setze h(x)=F(x,y(x))
Die Kettenregel liefert:
[mm] $h'(x)=F_x(x,y(x))*1+F_y(x,y(x))*y'(x)= [/mm] f(x,y(x))+g(x,y(x))*y'(x)$
Nun sieht man:
y ist eine Lösung der DGL auf I [mm] \gdw [/mm] h'(x)=0 für alle x [mm] \in [/mm] I [mm] \gdw [/mm] h ist auf I konstant.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:05 Di 18.09.2012 | | Autor: | judithlein |
Ah ja, ich glaube ich habe falsch gedacht.
Ich muss ja die Form meiner gegebenen Dgl berücksichtigen. Und da
f(x,y) + g(x,y)*y' =0
ist, so muss die Stammfunktion konstant sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:27 Di 18.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ah ja, ich glaube ich habe falsch gedacht.
> Ich muss ja die Form meiner gegebenen Dgl
> berücksichtigen. Und da
>
> f(x,y) + g(x,y)*y' =0
>
> ist, so muss die Stammfunktion konstant sein.
Nein. Nochmal: nicht F muß konstant sein, sondern die Fkt. sondern die Funktion x $ [mm] \to [/mm] $ F(x,y(x)).
FRED
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