Exakte DGL und integr. Faktor < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Di 18.12.2012 | | Autor: | BamPi |
| Aufgabe | Für x,y>0 betrachten wir die Differentialgleichung
[mm] 2+(\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x})*y'=0
[/mm]
a) Ist diese DGL exakt ?
b) Gibt es einen nur von x abhängigen integrierenden Faktor ?
c) Gibt es einen nur von y abhängigen integrierenden Faktor ?
d) Ist xy ein integrierender Faktor für diese DGL ?
e) Finden Sie eine implizite Gleichung [mm] \phi(x,y(x)) [/mm] = const für die Lösungen der DGL |
Hallo,
ich hänge leider bereits schon bei der a fest.
Ich habe zunächst die DGL umformuliert zu:
[mm] \bruch{x}{y}*y'+\bruch{y}{x}*y'=-2
[/mm]
Für eine Exakte DGL muss gelten: [mm] P_y [/mm] = [mm] Q_x
[/mm]
Ist hier nun mein
[mm] P(x,y)=\bruch{x}{y} [/mm]
und
[mm] Q(x,y)=\bruch{y}{x} [/mm] ?
Somit wäre ja dann
[mm] \bruch{\partial}{\partial y}P(x,y)=\bruch{-x}{y^2} [/mm]
und
[mm] \bruch{\partial}{\partial x}Q(x,y)=\bruch{-y}{x^2} [/mm]
also
[mm] P_y\not=Q_x [/mm] und damit nicht exakt. Ist das soweit korrekt ?
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Hallo,
> Für x,y>0 betrachten wir die Differentialgleichung
>
> [mm]2+(\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x})*y'=0[/mm]
>
> a) Ist diese DGL exakt ?
> b) Gibt es einen nur von x abhängigen integrierenden
> Faktor ?
> c) Gibt es einen nur von y abhängigen integrierenden
> Faktor ?
> d) Ist xy ein integrierender Faktor für diese DGL ?
> e) Finden Sie eine implizite Gleichung [mm]\phi(x,y(x))[/mm] =
> const für die Lösungen der DGL
> Hallo,
>
> ich hänge leider bereits schon bei der a fest.
> Ich habe zunächst die DGL umformuliert zu:
>
> [mm]\bruch{x}{y}*y'+\bruch{y}{x}*y'=-2[/mm]
Wieso?
>
> Für eine Exakte DGL muss gelten: [mm]P_y[/mm] = [mm]Q_x[/mm]
Die Dgl. sollte dazu in der Form [mm] $P(x,y)+Q(x,y)\cdot{}y'=0$ [/mm] vorliegen ...
Das tut sie in der Ausgangsform mit $P(x,y)=2, [mm] Q(x,y)=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$
[/mm]
>
> Ist hier nun mein
>
> [mm]P(x,y)=\bruch{x}{y}[/mm]
> und
> [mm]Q(x,y)=\bruch{y}{x}[/mm] ?
>
> Somit wäre ja dann
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y}P(x,y)=\bruch{-x}{y^2}[/mm]
> und
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x}Q(x,y)=\bruch{-y}{x^2}[/mm]
>
> also
> [mm]P_y\not=Q_x[/mm] und damit nicht exakt. Ist das soweit korrekt
> ?
Recht hast du insoweit, als dass die Dgl. nicht exakt ist.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Di 18.12.2012 | | Autor: | BamPi |
Also wäre es dann mit
P(x,y)=2
und
[mm] Q(x,y)=\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x}
[/mm]
[mm] P_y=0
[/mm]
und
[mm] Q_x [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}-\bruch{x}{y^2}
[/mm]
also [mm] P_y \not= Q_x [/mm] ?
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Hallo BamPi,
> Also wäre es dann mit
>
> P(x,y)=2
> und
> [mm]Q(x,y)=\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]P_y=0[/mm]
>
> und
>
> [mm]Q_x[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}-\bruch{x}{y^2}[/mm]
??
Das stimmt doch nicht ...
>
> also [mm]P_y \not= Q_x[/mm] ?
Das wird sich so ergeben, aber das "also" passt hier nicht ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Di 18.12.2012 | | Autor: | BamPi |
> Hallo BamPi,
>
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> > Also wäre es dann mit
> >
> > P(x,y)=2
> > und
> > [mm]Q(x,y)=\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x}[/mm]
> >
> > [mm]P_y=0[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]Q_x[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}-\bruch{x}{y^2}[/mm]
>
> ??
>
> Das stimmt doch nicht ...
>
> >
> > also [mm]P_y \not= Q_x[/mm] ?
>
> Das wird sich so ergeben, aber das "also" passt hier nicht
> ...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Sorry, ich habe versehentlich Q statt nach x, nach y abgeleitet.
Es sollte natürlich heißen:
[mm] Q_x=\bruch{1}{y}-\bruch{y}{x^2}
[/mm]
Somit hätte ich also gezeigt, dass die DGL nicht exakt ist.
Nun muss ich den integrierenden Faktor [mm] \mu [/mm] bestimmen.
Es soll gelten:
[mm] (\mu*P)_y=(\mu*Q)_x [/mm] <=> [mm] (\mu*2)_y=(\mu*\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x})_x
[/mm]
leider weis ich nicht so recht wie ich das lösen soll ?
Ich habe einen anderen Ansatz gefunden, welcher besagt:
Wenn [mm] \bruch{P_y-Q_x}{Q} [/mm] nur von x abhängt, ist [mm] \mu_x=\bruch{P_y-Q_x}{Q}*\mu [/mm] und nur von x abhängig.
Wenn [mm] \bruch{P_y-Q_x}{P} [/mm] nur von y abhängt, ist [mm] \mu_y=\bruch{P_y-Q_x}{P}*\mu [/mm] und nur von y abhängig.
Keines der beiden trifft in meinem Fall zu. Kann ich somit bereits sagen, dass mein gesuchter Integrierender Faktor weder nur von x, noch nur von y abhängt ?
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Hallo BamPi,
> > Hallo BamPi,
> >
> >
> > > Also wäre es dann mit
> > >
> > > P(x,y)=2
> > > und
> > > [mm]Q(x,y)=\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x}[/mm]
> > >
> > > [mm]P_y=0[/mm]
> > >
> > > und
> > >
> > > [mm]Q_x[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}-\bruch{x}{y^2}[/mm]
> >
> > ??
> >
> > Das stimmt doch nicht ...
> >
> > >
> > > also [mm]P_y \not= Q_x[/mm] ?
> >
> > Das wird sich so ergeben, aber das "also" passt hier nicht
> > ...
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
>
> Sorry, ich habe versehentlich Q statt nach x, nach y
> abgeleitet.
> Es sollte natürlich heißen:
> [mm]Q_x=\bruch{1}{y}-\bruch{y}{x^2}[/mm]
>
> Somit hätte ich also gezeigt, dass die DGL nicht exakt
> ist.
> Nun muss ich den integrierenden Faktor [mm]\mu[/mm] bestimmen.
>
> Es soll gelten:
>
> [mm](\mu*P)_y=(\mu*Q)_x[/mm] <=>
> [mm](\mu*2)_y=(\mu*\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x})_x[/mm]
>
Hier hast Du ein paar Klammern vergessen:
[mm](\mu*2)_y=(\mu*\left\blue{(}\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x}\right\blue{)})_x[/mm]
> leider weis ich nicht so recht wie ich das lösen soll ?
>
> Ich habe einen anderen Ansatz gefunden, welcher besagt:
>
> Wenn [mm]\bruch{P_y-Q_x}{Q}[/mm] nur von x abhängt, ist
> [mm]\mu_x=\bruch{P_y-Q_x}{Q}*\mu[/mm] und nur von x abhängig.
>
> Wenn [mm]\bruch{P_y-Q_x}{P}[/mm] nur von y abhängt, ist
> [mm]\mu_y=\bruch{P_y-Q_x}{P}*\mu[/mm] und nur von y abhängig.
>
> Keines der beiden trifft in meinem Fall zu. Kann ich somit
> bereits sagen, dass mein gesuchter Integrierender Faktor
> weder nur von x, noch nur von y abhängt ?
Ja, das kannst Du.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Mi 19.12.2012 | | Autor: | BamPi |
> > Keines der beiden trifft in meinem Fall zu. Kann ich somit
> > bereits sagen, dass mein gesuchter Integrierender Faktor
> > weder nur von x, noch nur von y abhängt ?
>
>
> Ja, das kannst Du.
>
>
> Gruss
> MathePower
Hallo,
bei Aufgabenteil d) kann ich demnach einfach durch einsetzen prüfen:
[mm] (\mu*P)_y [/mm] = [mm] (\mu*Q)_x
[/mm]
Mit P=2 und [mm] Q=\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x} [/mm] und [mm] \mu=x*y [/mm] folgt
[mm] (x*y*2)_y [/mm] = [mm] (x*y*(\bruch{x}{y}+\bruch{y}{x}))_x
[/mm]
=> 2*x=2*x und somit ist [mm] \mu=x*y [/mm] ein integrierender Faktor der DGL.
Nun zur impliziten Gleichung:
Eine implizite Lösung wäre doch
[mm] y'=\bruch{-2*x*y}{x^2+y^2} [/mm] (Ausgangsgleichung nach y' umgestellt)
[mm] y=\integral{\bruch{-2*x*y}{x^2+y^2} dx} [/mm] = [mm] -ln(x^2+y^2)*y
[/mm]
wäre das korrekt ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Mi 19.12.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
der integrierende Faktor ist [mm] x\cdot{y}
[/mm]
Damit ist die gesuchte implizite Funktion [mm] \Phi(x,y(x)) [/mm] eine Funktion, die die Gleichung
[mm] \nabla\Phi(x,y(x))=\vektor{2xy \\ x^2+y^2} [/mm] erfüllen muss.
Also musst Du eine Funktion [mm] \Phi(x,y) [/mm] suchen, mit [mm] \Phi_x=2xy [/mm] und [mm] \Phi_y=x^2+y^2
[/mm]
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