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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Mo 05.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Gegeben sei das AWP [mm] y'=x^3-x, [/mm] y(0)=0.
Zur Schrittweite h sollen mit dem Eulerverfahren Näherungswerte [mm] y_j [/mm] für [mm] y(x_j) [/mm] berechnet werden. Man gebe sowohl [mm] y_j, [/mm] also auch den exakten Fehler [mm] |y_j-y(x_j)| [/mm] an und zeige, dass bei dfestem x und h=x/n, n=1,2,... der Fehler im Punkt x für n--> [mm] \infty [/mm] gegen Null geht. |
Hallo zusammen,
zunächst habe ich die Lösung des AWP bestimmt, sie ist [mm] y=1/4x^4-1/2x^2.
[/mm]
Das Euler Verfahren ist ja [mm] y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)
[/mm]
Also in unserem Fall [mm] y_0=0
[/mm]
[mm] y_1=y_0+hf(x_0,y_0)=0+h(x_0^3-x_0)=0, [/mm] da [mm] x_0=0
[/mm]
[mm] y_2=y_1+hf(x_1,y_1)=0+h(x_1^3-x_1)=h(x_1^3-x_1)
[/mm]
[mm] y_n=h \summe_{i=1}^{n-1}x_i^3-h \summe_{i=1}^{n-1}x_i
[/mm]
Ist das soweit ok?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Mo 05.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Trikolon!
> Gegeben sei das AWP [mm]y'=x^3-x,[/mm] y(0)=0.
> Zur Schrittweite h sollen mit dem Eulerverfahren
> Näherungswerte [mm]y_j[/mm] für [mm]y(x_j)[/mm] berechnet werden. Man gebe
> sowohl [mm]y_j,[/mm] also auch den exakten Fehler [mm]|y_j-y(x_j)|[/mm] an
> und zeige, dass bei dfestem x und h=x/n, n=1,2,... der
> Fehler im Punkt x für n--> [mm]\infty[/mm] gegen Null geht.
> Hallo zusammen,
>
> zunächst habe ich die Lösung des AWP bestimmt, sie ist
> [mm]y=1/4x^4-1/2x^2.[/mm]
Du meinst
[mm] y=\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{4}x^2\left(x^2-2\right).
[/mm]
> Das Euler Verfahren ist ja [mm]y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)[/mm]
für [mm] n=0,1,2,\ldots.
[/mm]
> Also in unserem Fall [mm]y_0=0[/mm]
> [mm]y_1=y_0+hf(x_0,y_0)=0+h(x_0^3-x_0)=0,[/mm] da [mm]x_0=0[/mm]
> [mm]y_2=y_1+hf(x_1,y_1)=0+h(x_1^3-x_1)=h(x_1^3-x_1)[/mm]
> [mm]y_n=h \summe_{i=1}^{n-1}x_i^3-h \summe_{i=1}^{n-1}x_i[/mm]
Äquivalent dazu ist
[mm] y_n=h\left(\sum_{i=1}^{n-1}\left(x_i^3-x_i\right)\right).
[/mm]
> Ist das soweit ok?
Ja.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Mo 05.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Dankeschön!
Aber wie berechne ich jetzt den exakten Fehler
[mm] |y_j-y(x_j)|? [/mm] Denn wenn ich das, was ich berechnet habe, sehe ich nicht wie ich das vereinfachen könnte...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Di 06.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst für [mm] x_i [/mm] =h/n *i einsetzen und die Summe i und [mm] i^3 [/mm] verwenden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:32 Di 06.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Warum [mm] x_i=h/N*i? [/mm] Laut Aufgabenstellung soll mam doch zuerst den Fehler berechnen und dann h=x/N setzen. Über eine etwas ausführlichere Antwort wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Di 06.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
im ersten Teil sollst du wohl einfach nit dem echten Integral vergleichen.
mein fehlerhafter post es muss natürlich mit h=x/n heissen [mm] x_i=x/n*i [/mm] war für den zweiten Teil n gegen [mm] \infty [/mm] gemeint.
im ersten Teil musst du dann [mm] x_i=h*i [/mm] verwenden, da du ja bei x=0 anfängst.
Gruß ledum
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Es wäre ja dann:
[mm] |y_j-y(x_j)| [/mm] =| [mm] \frac{1}{4}x_j^2\left(x_j^2-2\right) [/mm] - [mm] h\left(\sum_{j=1}^{n-1}\left(x_j^3-x_j\right)\right)|
[/mm]
Und nun? Ich würde ja die entsprechenden Summenformeln verwenden, aber die Summe geht ja bis n-1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 08.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 Di 06.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Edit: Sry, war ein Doppel-Posting
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Do 08.01.2015 | | Autor: | Trikolon |
Hättest du bzgl meines letzten Posts noch einen Tipp?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Do 08.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn man die Summe bis m kann ist Summe bis m=n-1 doch wohl auch klar? oder( Summe bis n) [mm] -a_n
[/mm]
Gruß leduart
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[mm] |y_j-y(x_j)| [/mm] =| [mm] \frac{1}{4}x_j^2\left(x_j^2-2\right) [/mm] - [mm] h\left(\sum_{j=1}^{n-1}\left(x_j^3-x_j\right)\right)| [/mm] = | [mm] \frac{1}{4}x_j^2\left(x_j^2-2\right) [/mm] - [mm] h\left(\sum_{j=1}^{n}\left(x_j^3-x_j\right)\right)-x_n^3+x_n| [/mm] = | [mm] \frac{1}{4}x_j^2\left(x_j^2-2\right) [/mm] - [mm] h\left(\sum_{j=1}^{n}\left(x_j^3-x_j\right)\right)-x_n^3+x_n|=| \frac{1}{4}x_j^2\left(x_j^2-2\right) [/mm] - h [mm] (\bruch{x_n^2(x_n+1)^2}{4}-\bruch{x_n(x_n+1)}{2})-x_n^3+x_n|
[/mm]
Aber jetzt hab ich ja [mm] x_j [/mm] und [mm] x_n, [/mm] also irgendwas stimmt mit den Indizes nicht..
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Hat niemand eine Idee, was bei dieser Rechnung falsch läuft?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Mi 21.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 19.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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