Eulerscher Multiplikator < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 So 19.06.2011 | | Autor: | rammy |
| Aufgabe | | Definition: [mm] m(x,y)\not= [/mm] 0 heißt integrierender Faktor oder Eulerscher Multiplikator für eine DGL der Form Pdx+Qdy=0, wenn mPdx+mQdy=0 eine exakte DGL ist. |
Für P,Q, m [mm] \in C^{1} \Rightarrow (mP)_y=(mQ)_x\Rightarrow m_{y}P+mP_{y} [/mm] = [mm] m_{x}Q+mQ_{x}. [/mm] Dieser Teil ist mir eigentlich sehr klar, das ganze kann noch umgeformt werden auf:
[mm] m_{y}P-m_{x}Q=m(Q_{x}-P_{y}), [/mm] wenn nun [mm] m_{y}=0 [/mm] machen wir einen Ansatz: [mm] m=m(x)\Rightarrow mP_{y}=m'Q+mQ_{x}\Rightarrow \frac{m'(x)}{m(x)}=(ln [/mm] m)' [mm] \Rightarrow m(x)=e^{\integral{\frac{P_{y}-Q_{x}}{Q}dx}}.
[/mm]
Was passiert bei dem Ansatz? :)
Die Professorin lässt ganz gerne die Zwischenschritte weg, welche mir nicht ganz ersichtlich sind...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo rammy,
> Definition: [mm]m(x,y)\not=[/mm] 0 heißt integrierender Faktor oder
> Eulerscher Multiplikator für eine DGL der Form Pdx+Qdy=0,
> wenn mPdx+mQdy=0 eine exakte DGL ist.
> Für P,Q, m [mm]\in C^{1} \Rightarrow (mP)_y=(mQ)_x\Rightarrow m_{y}P+mP_{y}[/mm]
> = [mm]m_{x}Q+mQ_{x}.[/mm] Dieser Teil ist mir eigentlich sehr klar,
> das ganze kann noch umgeformt werden auf:
> [mm]m_{y}P-m_{x}Q=m(Q_{x}-P_{y}),[/mm] wenn nun [mm]m_{y}=0[/mm] machen wir
> einen Ansatz: [mm]m=m(x)\Rightarrow mP_{y}=m'Q+mQ_{x}\Rightarrow \frac{m'(x)}{m(x)}=(ln[/mm]
> m)' [mm]\Rightarrow m(x)=e^{\integral{\frac{P_{y}-Q_{x}}{Q}dx}}.[/mm]
>
> Was passiert bei dem Ansatz? :)
Nun der integrierende Faktor ist nur von x abhängig.
Dabei muss
[mm]\frac{P_{y}-Q_{x}}{Q}[/mm]
ebenfalls nur von x abhängig sein.
>
> Die Professorin lässt ganz gerne die Zwischenschritte weg,
> welche mir nicht ganz ersichtlich sind...
>
Erzähl uns doch, an welchen Stellen
Du die Zwischenschritte vermisst.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Di 21.06.2011 | | Autor: | rammy |
Danke dir zunächst, aber mir ist der Zwischenschritt mit dem Logarithmus bzw. generell nicht mit den Ableitungen klar.
Ich weiß, dass die rechte Seite nur von x abhängig sein darf und ich sodann diesen Bruch erhalte, welchen ich dann als Exponent der e-Funktion habe.
LG
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Hallo rammy,
nun, wenn [mm]m_y=0[/mm] ist, vereinfacht sich das oben doch zu
[mm]-m_xQ=m(Q_x-P_y)[/mm]
Mit [mm]m=m(x)[/mm] ist [mm]m_x=m'(x)=m'[/mm], also [mm]-m'Q=m(Q_x-P_y)[/mm]
Das nach [mm]m'[/mm] umstellen:
[mm]m'=\frac{m(P_y-Q_x)}{Q}[/mm] --> durch [mm]m[/mm] auf beiden Seiten:
[mm]\frac{m'}{m}=\frac{P_y-Q_x}{Q}[/mm]
Nun ist [mm]\frac{m'}{m}=\left[\ln(m)\right]'[/mm] (logarithmische Ableitung - rechne nach!)
Also [mm]\left[\ln(m)\right]'=\frac{P_y-Q_x}{Q}[/mm]
Beiderseits integrieren:
[mm]\ln(m)=\int{\frac{P_y-Q_x}{Q} \ dx}[/mm]
Und die e-Funktion anwenden auf beiden Seiten
[mm]m=e^{\int{\frac{P_y-Q_x}{Q} \ dx}}[/mm]
Ich hoffe, das klärt die Rechnung ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:45 Di 21.06.2011 | | Autor: | rammy |
Ach, Herrje!
Ich danke dir :)
Nun ist mir alles klar!
LG
R
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