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| Aufgabe | Man zeige, dass für alle m [mm] \in \IN [/mm] gilt:
(1+ [mm] \bruch{1}{m})^m \le \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} [/mm] ,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1+ [mm] \bruch{1}{n})^n \ge \summe_{k=0}^{m} \bruch{1}{k!} [/mm] |
Mir geht es eigentlich erst mal nur im die erste Zeile.
Ich denke, dass man das wohl mit Induktion beweisen muss. Stimmt das? Weil ich versuch schon lange das irgendwie hinzubekommen.
Also generell gilt ja:
IA: Für m=1 ist Behauptung wahr. (hab ich gezeigt, bin zu faul zum schreiben)
IB: Die Behauptung (1+ [mm] \bruch{1}{m})^m \le \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} [/mm] sei wahr!
IS: m --> m+1
Dann gilt:
(1+ [mm] \bruch{1}{m+1})^{m+1} \le \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}.
[/mm]
Ist bis hierhin wenigstens alles richtig, oder muss ich anders ran gehen?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Di 18.11.2008 | | Autor: | abakus |
> Man zeige, dass für alle m [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> (1+ [mm]\bruch{1}{m})^m \le \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}[/mm]
> ,
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1+ [mm]\bruch{1}{n})^n \ge \summe_{k=0}^{m} \bruch{1}{k!}[/mm]
>
> Mir geht es eigentlich erst mal nur im die erste Zeile.
> Ich denke, dass man das wohl mit Induktion beweisen muss.
> Stimmt das? Weil ich versuch schon lange das irgendwie
> hinzubekommen.
>
> Also generell gilt ja:
> IA: Für m=1 ist Behauptung wahr. (hab ich gezeigt, bin zu
> faul zum schreiben)
> IB: Die Behauptung (1+ [mm]\bruch{1}{m})^m \le \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}[/mm]
> sei wahr!
> IS: m --> m+1
> Dann gilt:
>
> (1+ [mm]\bruch{1}{m+1})^{m+1} \le \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}.[/mm]
>
> Ist bis hierhin wenigstens alles richtig, oder muss ich
> anders ran gehen?
>
> Grüße
Ich glaube nicht, dass Induktion hier etwas bringt.
Nutze den binomischen Satz und schreibe (1+ [mm] \bruch{1}{m} )^m [/mm] als
[mm] \summe_{n=0}^{m} 1^m*(\bruch{1}{m})^{m-n}*\vektor{m \\ n}=\summe_{n=0}^{m} 1^m*(\bruch{1}{m})^{m-n}*\bruch{m!}{n!(m-n)!}=\summe_{n=0}^{m} (\bruch{1}{n!})*\bruch{m}{m}*\bruch{m-1}{m}*\bruch{m-2}{m}*...*\bruch{m-(n-1)}{m}
[/mm]
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Di 18.11.2008 | | Autor: | Schneuzle |
OK, hab ich mir schon gedacht...und schon mit dem binomischen Satz ausprobiert!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:25 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Rutzel |
> [mm]\summe_{n=0}^{m} 1^m*(\bruch{1}{m})^{m-n}*\bruch{m!}{n!(m-n)!}=\summe_{n=0}^{m} (\bruch{1}{n!})*\bruch{m}{m}*\bruch{m-1}{m}*\bruch{m-2}{m}*...*\bruch{m-(n-1)}{m}[/mm]
>
> Gruß Abakus
Hallo,
kann mir mal jemand bei dieser Gleichung auf die Spruenge helfen?
Fuer n=0 ist doch
[mm] \bruch{m-(n-1)}{m} [/mm] = [mm] \bruch{m-(0-1)}{m} [/mm] = [mm] \bruch{m+1}{m}
[/mm]
und das sollte doch nicht im Produkt stehen, oder?
Gurss,
Rutzel
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> > [mm]\summe_{n=0}^{m} \red{1^n}*(\bruch{1}{m})^{m-n}*\bruch{m!}{n!(m-n)!}=\summe_{n=0}^{m} (\bruch{1}{n!})*\bruch{m}{m}*\bruch{m-1}{m}*\bruch{m-2}{m}*...*\bruch{m-(n-1)}{m}[/mm]
>
> >
> > Gruß Abakus
>
> Hallo,
>
> kann mir mal jemand bei dieser Gleichung auf die Spruenge
> helfen?
>
> Fuer n=0 ist doch
>
> [mm]\bruch{m-(n-1)}{m}[/mm] = [mm]\bruch{m-(0-1)}{m}[/mm] = [mm]\bruch{m+1}{m}[/mm]
>
> und das sollte doch nicht im Produkt stehen, oder?
Hallo,
es ist
[mm] $\summe_{n=0}^{m} 1^n*(\bruch{1}{m})^{m-n}*\bruch{m!}{n!(m-n)!}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{m} 1^{m-n}*(\bruch{1}{m})^{n}*\bruch{m!}{n!(m-n)!}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{m} (\bruch{1}{n!})*\bruch{m}{m}*\bruch{m-1}{m}*\bruch{m-2}{m}*...*\bruch{m-(n-1)}{m}$
[/mm]
Im Produkt [mm] \bruch{m}{m}*\bruch{m-1}{m}*\bruch{m-2}{m}*...*\bruch{m-(n-1)}{m} [/mm] hat man n Faktoren.
Für n=0 also 0 Faktoren und nicht etwa einen.
Gruß v. Angela
>
> Gurss,
> Rutzel
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