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| Aufgabe | | Zeigen sie, dass für alle n gilt n = [mm] \summe_{k | n}^{} \phi(k) [/mm] und damit dann für G endliche Gruppe, für die jeden Teiler k von |G| es genau eine Untergruppe der k gibt, G zyklisch ist. |
erster Teil:
[mm] \phi(n) [/mm] = |Z/Zn*|
Z/Zn ist endl. zyklisch Gruppe => jeder Teiler k von n hat genau eine Untergruppe [mm] H_k [/mm] von Z/Zn der Ordnung k
Bis hier hin habe ich es verstanden.
[mm] \phi(k) [/mm] ^= Anzahl der Erzeuger der Untergruppe [mm] H_k
[/mm]
Wie kann ich mir das klar machen, vorallem, dass dann Z/Zn im nächsten Schritt disjunkte Vereinigung ist?
=> Z/Zn ist disjunkte Vereinigung dieser Erzeuger
=> n = |Z/Zn| = [mm] \summe_{k | n}^{} \phi(k)
[/mm]
Zweiter Teil:
|G| = n => [mm] \forall [/mm] k|n [mm] \exists H_k \le [/mm] G : [mm] |H_k|=k
[/mm]
=> [mm] \exists [/mm] 0 v [mm] \phi(k) [/mm] Elemente der Ordnung k in G
Warum?
Angenommen [mm] \exists [/mm] 0 Elemente der Ordnung k in G
=> n > |G|
Das seh ich nicht wie das Zustande kommt?
Damit gibt es für jden Teiler k von n genau [mm] \phi(k) [/mm] Elemente der Ordnung k. Insbesondere gilt dies für n selbst
=> G zyklisch, da G durch Elemente der Ordnung n erzeugt wird
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Fr 29.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Zeigen sie, dass für alle n gilt n = [mm]\summe_{k | n}^{} \phi(k)[/mm]
> und damit dann für G endliche Gruppe, für die jeden
> Teiler k von |G| es genau eine Untergruppe der k gibt, G
> zyklisch ist.
> erster Teil:
> [mm]\phi(n)[/mm] = |Z/Zn*|
> Z/Zn ist endl. zyklisch Gruppe => jeder Teiler k von n hat
> genau eine Untergruppe [mm]H_k[/mm] von Z/Zn der Ordnung k
>
> Bis hier hin habe ich es verstanden.
>
> [mm]\phi(k)[/mm] ^= Anzahl der Erzeuger der Untergruppe [mm]H_k[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wie kann ich mir das klar machen, vorallem, dass dann Z/Zn
> im nächsten Schritt disjunkte Vereinigung ist?
Das sind zwei verschiedene Dinger.
Erstens: Warum hat [mm] $H_k$ [/mm] genau [mm] $\phi(k)$ [/mm] erzeuger? Man nehme sich einen Erzeuger $h [mm] \in H_k$; [/mm] dieser hat Ordnung $k$. Jetzt kann man jedes Element in [mm] $H_k$ [/mm] eindeutig schreiben als [mm] $h^i$ [/mm] mit $0 [mm] \le [/mm] i < k$. Die Ordnung von [mm] $h^i$ [/mm] ist gerade [mm] $\frac{k}{ggT(k, i)}$, [/mm] und damit ist [mm] $h^i$ [/mm] genau dann ein Erezuger, wenn $i$ teilerfremd zu $k$ ist (also $ggT(k, i) = 1$). Damit ist die Anzahl der Erzeuger gleich der Anzahl der Zahlen in [mm] $\{ 0, 1, \dots, k - 1 \}$, [/mm] die teilerfremd zu $k$ sind. Und dies ist gerade [mm] $\phi(k)$.
[/mm]
Zweitens: Warum ist $G$ die Vereinigung der Erzeuger der [mm] $H_k$? [/mm] Ein Element $g [mm] \in [/mm] G$ ist genau dann ein Erzeuger von [mm] $H_k$, [/mm] wenn $ord(g) = k$ ist. Da jedes Element eine eindeutige Ordnung hat, ist es also Erzeuger von genau einem [mm] $H_k$ [/mm] (mit $k = ord(g)$).
> => Z/Zn ist disjunkte Vereinigung dieser Erzeuger
> => n = |Z/Zn| = [mm]\summe_{k | n}^{} \phi(k)[/mm]
>
>
>
> Zweiter Teil:
> |G| = n => [mm]\forall[/mm] k|n [mm]\exists H_k \le[/mm] G : [mm]|H_k|=k[/mm]
Du meinst wohl eher: $|G| = n$ mit [mm]\forall[/mm] k|n [mm]\exists! H_k \le[/mm] G : [mm]|H_k|=k[/mm]
(Vor allem das "!" ist wichtig! Es gibt genau eine Untergruppe der Ordnung $k$!)
> => [mm]\exists[/mm] 0 v [mm]\phi(k)[/mm] Elemente der Ordnung k in G
> Warum?
Steht das wirklich genau so da? Das macht naemlich keinen Sinn. Was soll [mm] "$\exists [/mm] 0 v [mm] \phi(k)$ [/mm] Elemente der Ordnung $k$ in $G$" ueberhaupt bedeuten?
> Angenommen [mm]\exists[/mm] 0 Elemente der Ordnung k in G
> => n > |G|
Meinst du wirklich "Angenommen es gibt kein Element der Ordnung $k$ in $G$. Daraus folgt, dass $n > |G|$ ist"?
> Damit gibt es für jden Teiler k von n genau [mm]\phi(k)[/mm]
> Elemente der Ordnung k. Insbesondere gilt dies für n
> selbst
> => G zyklisch, da G durch Elemente der Ordnung n erzeugt
> wird
... da [mm] $\phi(n) [/mm] > 0$.
LG Felix
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> > Zweiter Teil:
> > |G| = n => [mm]\forall[/mm] k|n [mm]\exists H_k \le[/mm] G : [mm]|H_k|=k[/mm]
>
> Du meinst wohl eher:
> [mm]|G| = n[/mm] mit [mm]\forall[/mm] k|n [mm]\exists! H_k \le[/mm] G : [mm]|H_k|=k[/mm]
>
> (Vor allem das "!" ist wichtig! Es gibt genau eine Untergruppe der Ordnung [mm]k[/mm]!)
Hallo Felix,
in der letzten Zeile steht ein Ausrufezeichen zu viel,
wenn die Aussage nicht missverständlich sein soll ... 
LG Al
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Okay der erste Teil ist schonmal klarer geworden.
Für den zweiten Teil steht das es wirklich so da:
Es gibt 0 oder [mm] \phi(k) [/mm] Elemente der Ordnung k
Angenommen es gibt 0 Elemente der Ordnung k, dann ist n > |G|, dass widerspricht aber |G| = n.
Was ich immernoch nicht so ganz sehe, dass n > |G| ist.
Deswegen bleibt nur die andere Möglichkeit, dass es [mm] \phi(k) [/mm] Elemente der Ordnung k => G zyklisch, da G durch Elemente der Ordnung n erzeugt wird
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Fr 29.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Okay der erste Teil ist schonmal klarer geworden.
>
> Für den zweiten Teil steht das es wirklich so da:
>
> Es gibt 0 oder [mm]\phi(k)[/mm] Elemente der Ordnung k
> Angenommen es gibt 0 Elemente der Ordnung k, dann ist n >
> |G|, dass widerspricht aber |G| = n.
Das hier macht im Gegensatz zu dem, was du vorher geschrieben hattest, aber Sinn.
Wenn [mm] $H_k$ [/mm] zyklisch ist, dann gibt es mind. ein Element der Ordnung $k$, und nach dem Arguemnt was ich vorhin erlaeutet hab genau [mm] $\phi(k)$ [/mm] Elemente der Ordnung $k$. Andernfalls gibt es kein Element der Ordnung $k$.
> Was ich immernoch nicht so ganz sehe, dass n > |G| ist.
Es gilt doch $|G| = [mm] \sum_{k \mid |G|} A_k$, [/mm] wobei [mm] $A_k$ [/mm] die Anzahl der Elemente der Ordnung $k$ ist. Du hast gezeigt, dass [mm] $A_k \in \{ 0, \phi(k) \}$ [/mm] ist. Und du weisst, dass [mm] $\phi(k) [/mm] > 0$ ist fuer jedes $k$, und dass $|G| = n = [mm] \sum_{k \mid n} \phi(k)$ [/mm] gilt.
Also: sobald ein [mm] $A_k [/mm] = 0$ ist, ist $|G| = [mm] \sum_{k \mid |G|} A_k [/mm] < [mm] \sum_{k \mid n} \phi(k) [/mm] = n$.
LG Felix
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