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Eulersche Formel: reelle Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:27 So 04.05.2008
Autor: clwoe

Hallo,

ich habe die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Diese Lösung ist allerdings komplex.

Sie lautet: [mm] T(t)=Ae^{ikct}+Be^{-ikct} [/mm]

Diese schreib ich mir über die Eulersche Formel um in:

T(t)=A(cos(kct)+i*sin(kct))+B(cos(kct)-i*sin(kct))

Es geht hier um die Lösung der eindimensionalen Wellengleichung, also muss hier was reelles als Lösung rauskommen.

Ich hätte jetzt gesagt, das die Lösung lautet: T(t)=A*cos(kct)+B*cos(kct), da ich nur die reellen Anteile benötige.

Tatsächlich lautet die Lösung aber so: T(t)=A*cos(kct)+B*sin(kct)

Kann mir das einer erklären bitte?

Gruß,
clwoe


        
Bezug
Eulersche Formel: zu Deiner Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:31 So 04.05.2008
Autor: Loddar

Hallo clwoe!


Bei Deiner Lösung könnte man ja noch zusammenfassen zu $y \ = \ [mm] (A+B)*\cos(k*c*t)$ [/mm] ,w as ja nur einer einfachen Cosinus-Linie entspricht.


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Eulersche Formel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 Mo 05.05.2008
Autor: MathePower

Hallo clwoe,

> Hallo,
>  
> ich habe die Lösung einer gewöhnlichen
> Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten
> Koeffizienten. Diese Lösung ist allerdings komplex.
>  
> Sie lautet: [mm]T(t)=Ae^{ikct}+Be^{-ikct}[/mm]
>  
> Diese schreib ich mir über die Eulersche Formel um in:
>  
> T(t)=A(cos(kct)+i*sin(kct))+B(cos(kct)-i*sin(kct))

Das fassen wir doch glatt zusammen:

[mm]T\left(t\right)=\left(A+B\right)*\cos\left(kct\right)+i*(A-B)*\sin\left(kct\right)[/mm]


Wähle ich jetzt die Konstanten so, daß [mm]A+B \in \IR[/mm]  und [mm]i*\left(A-B\right) \in \IR[/mm],
dann erhalte ich eine reelle Lösung:

[mm]T\left(t\right)=\tilde{A}*\cos\left(kct\right)+\tilde{B}*\sin\left(kct\right)[/mm]

mit

[mm]\tilde{A}=A+B=A+\overline{A}=2*Re \ A[/mm]
[mm]\tilde{B}=A-B=A-\overline{A}=2*Im \ A[/mm]

>  
> Es geht hier um die Lösung der eindimensionalen
> Wellengleichung, also muss hier was reelles als Lösung
> rauskommen.
>  
> Ich hätte jetzt gesagt, das die Lösung lautet:
> T(t)=A*cos(kct)+B*cos(kct), da ich nur die reellen Anteile
> benötige.
>  
> Tatsächlich lautet die Lösung aber so:
> T(t)=A*cos(kct)+B*sin(kct)
>  
> Kann mir das einer erklären bitte?
>  
> Gruß,
>  clwoe
>  

Gruß
MathePower

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