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Forum "Zahlentheorie" - Euler phi
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Euler phi: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:04 Do 03.01.2008
Autor: matheIstCool

Aufgabe
1. Es sei m,n natürliche zahlen >0 und ggT(n,m)=1. Zeige, dass gilt:
m^phi(n) + n^phi(m) [mm] \equiv [/mm] 1 (mod m*n)

2. n natürliche zahl ggT(n,1729)=1. Beweise, dass
n^36 [mm] \equiv [/mm] 1 (mod m*n).

Also ich komme hier nicht aufen einen grünen Zweig...
Ich hatte an die multiplikativität der eulerschen Phi-Funktion gedacht...komme aber hier überhaupt nicht weiter....

Vielleicht hat jemand mal einen Tipp?

danke...

gruß matheIstCool

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Euler phi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Do 03.01.2008
Autor: angela.h.b.


> 1. Es sei m,n natürliche zahlen >0 und ggT(n,m)=1. Zeige,
> dass gilt:
>  m^phi(n) + n^phi(m) [mm]\equiv[/mm] 1 (mod m*n)

Hallo,

hier solltest Du mithilfe des Satzes v. Euler weiterkommen.

>  
> 2. n natürliche zahl ggT(n,1729)=1. Beweise, dass
>  n^36 [mm]\equiv[/mm] 1 (mod m*n).

Ich bin im Umgang mit den Kongruenzen nicht so geübt,
auf jeden Fall dürfteeine Primfaktorzerlegung von 1729, daraus resultierende Überlegungen sowie die Berechnung v. [mm] \varphi(1729) [/mm] kein Schaden sein.

Gruß v. Angela




Bezug
                
Bezug
Euler phi: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Do 03.01.2008
Autor: felixf

Hallo

> > 1. Es sei m,n natürliche zahlen >0 und ggT(n,m)=1. Zeige,
> > dass gilt:
>  >  m^phi(n) + n^phi(m) [mm]\equiv[/mm] 1 (mod m*n)
>  
> Hallo,
>  
> hier solltest Du mithilfe des Satzes v. Euler
> weiterkommen.

Und einem weiteren Satz, der eher aus dem asiatischen Raum stammt :)

> > 2. n natürliche zahl ggT(n,1729)=1. Beweise, dass
>  >  n^36 [mm]\equiv[/mm] 1 (mod m*n).

Was ist hier $m$? Irgendetwas beliebiges, was teilerfremd zu $n$ ist? Oder soll $m = 1729$ sein?

Und irgendwas scheint hier noch zu fehlen: die Kongruenz kann naemlich hoechstens nur dann stimmen, wenn $n = 1$ oder $-1$ ist.

> Ich bin im Umgang mit den Kongruenzen nicht so geübt,
> auf jeden Fall dürfteeine Primfaktorzerlegung von 1729,
> daraus resultierende Überlegungen sowie die Berechnung v.
> [mm]\varphi(1729)[/mm] kein Schaden sein.

Ja, schaden tut das sicher nicht, aber ich weiss nicht ob es weiterhilft. 36 ist zumindest das kleinste gemeinsame Vielfache der im Produkt bei der Berechnung von [mm] $\varphi(1729)$ [/mm] auftretenden Faktoren.

LG Felix


Bezug
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