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Schönen guten Abend euch zusammen!
Mein Thema sagt schon um was es geht. Ich weiß nicht wie ich das zeigen soll. Ich habe mal wo als Hinweis gefunden, dass man die Ungleichung benutzen soll.
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n
Und die Aufgabenstellung einer Übung sieht so aus:
Sei [mm] C_{N}= \summe_{1}^{N}\bruch{1}{n}-logN. [/mm] Beweise:
Der Limes C:= [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} [/mm] existiert. Die Zahl C heisst Euler-Mascheronische Konstante.
Würd mich freuen wenn mir jemand zeigt ob und wie das mit der Ungleichung funktioniert.
Danke für die Mühe!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:14 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Prinzessin!
> Mein Thema sagt schon um was es geht. Ich weiß nicht wie
> ich das zeigen soll. Ich habe mal wo als Hinweis gefunden,
> dass man die Ungleichung benutzen soll.
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> [mm](1+\bruch{1}{n})^n
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> Und die Aufgabenstellung einer Übung sieht so aus:
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> Sei [mm]C_{N}= \summe_{1}^{N}\bruch{1}{n}-logN.[/mm] Beweise:
> Der Limes C:= [mm]\limes_{N\rightarrow\infty}[/mm] existiert. Die
> Zahl C heisst Euler-Mascheronische Konstante.
>
> Würd mich freuen wenn mir jemand zeigt ob und wie das mit
> der Ungleichung funktioniert.
Erst einmal logarithmieren wir die Ungleichung. Es folgt:
$n [mm] \cdot \ln \left(1 + \frac{1}{n} \right) [/mm] < 1 < (n+1) [mm] \cdot \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right)$,
[/mm]
Daraus wiederum folgt:
[mm] $\frac{1}{n} [/mm] > [mm] \ln \left(1 + \frac{1}{n} \right) [/mm] > [mm] \frac{1}{n+1}$.
[/mm]
Daraus folgt zweierlei:
(1) $ [mm] \frac{1}{N+1} [/mm] - [mm] \ln(N+2) [/mm] + [mm] \ln(N+1) [/mm] = [mm] \frac{1}{N+1} [/mm] - [mm] \ln \left( \frac{N+2}{N+1} \right) [/mm] >0$
und
(2) [mm] $\frac{1}{N+1} [/mm] - [mm] \ln(N+1) [/mm] + [mm] \ln(N) [/mm] = [mm] \frac{1}{N+1} [/mm] - [mm] \ln \left( \frac{N+1}{N} \right) [/mm] <0$.
Aus (1) folgt, dass die Folge
[mm]C_{N}= \summe_{n=1}^{N}\bruch{1}{n}-log(N)[/mm]
monoton fallend ist (denn die Zuwächse sind negativ)
und aus (2) folgt, dass die Folge
[mm]C_N' = \summe_{n=1}^N \bruch{1}{n} - \log(N+1)[/mm]
monoton steigend ist (denn die Zuwächse sind positiv).
Für die Differenzfolge gilt zudem:
[mm] $d_N:= C_N [/mm] - [mm] C_N' [/mm] = [mm] \log\left( \frac{N+1}{N} \right) \to [/mm] 0 [mm] \quad [/mm] (N [mm] \to \infty)$.
[/mm]
Aus allem zusammen folgt die Behauptung. 
Viele Grüße
Julius
> Danke für die Mühe!!!
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