Euklidischer Vektor-/Punktraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 So 27.04.2008 | | Autor: | jura |
Es gibt so viele verschiedene Begriffe für Räume, in welchen man Punkte und Vektoren betrachtet, doch wie genau grenze ich diese voneinander ab? Kann mir jemand die Unterschiede zwischen
Euklidischem Vektorraum
Euklidischen Punktraum
Affinem Raum....
erklären?
besten dank, grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:54 Mo 28.04.2008 | | Autor: | jura |
ich habe ja bereits gelesen und gesucht und auch deine links verfolgt- aber tut mir leid, so ganz kann ich mirs eben immer noch nicht vorstellen:
ein euklidischer VR ist ein VR mit skalarprodukt, ein euklidischer punktraum ein affiner raum, der über "einen euklidsichen VR modelliert ist" (-was bedeutet das??). nun helfen mir diese erklärungen auch ni´cht viel weiter, denn ich verstehe nicht, was der unterschied im inhalt von VR und affinem raum ist--es ist doch beides ein modell für den raum mit pun kten, vektoren- geraden und ebenen?
wäre echt dankbar für hilfe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich habe ja bereits gelesen und gesucht und auch deine
> links verfolgt- aber tut mir leid, so ganz kann ich mirs
> eben immer noch nicht vorstellen:
> ein euklidischer VR ist ein VR mit skalarprodukt, ein
> euklidischer punktraum ein affiner raum, der über "einen
> euklidsichen VR modelliert ist" (-was bedeutet das??).
schau' mal hier:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Affiner_Raum
Unter Definition der linearen Algebra
Das bedeutet hier nur, dass bei dem Paar $(A,V)$ der "zugrundeliegende Vektorraum $V$" ein euklidischer Vektorraum ist.
> nun
> helfen mir diese erklärungen auch ni´cht viel weiter, denn
> ich verstehe nicht, was der unterschied im inhalt von VR
> und affinem raum ist--es ist doch beides ein modell für den
> raum mit pun kten, vektoren- geraden und ebenen?
> wäre echt dankbar für hilfe!!
Also geht es Dir um die Unterschiede zwischen Vektorräumen und affinen Räumen? Jeder Vektorraum ist auch ein affiner Raum, aber nicht jeder affine Raum ist ein Vektorraum.
Im folgenden sei immer die komponentenweise Addition und komponentenweise Skalarmultiplikation gemeint (d.h. [mm] $x=(x_1,...,x_n), y=(y_1,...,y_n) \in \IR^n \Rightarrow x+y=(x_1,...,x_n)+(y_1,...,y_n):=(x_1+y_1,...,x_n+y_n)$; [/mm] und [mm] $\lambda \in \IR \Rightarrow \lambda*x=\lambda*(x_1,...,x_n):=(\lambda*x_1,...,\lambda*x_n)$):
[/mm]
Wenn Du im [mm] $\IR^2$ [/mm] z.B. einfach nur irgendeine Gerade betrachtest, dann ist diese Gerade ein affiner Raum. Und genau dann ist eine solche Gerade ein Unterraum des [mm] $\IR^2$, [/mm] wenn sie durch den Ursprung geht, d.h., wenn der Punkt $(0,0)$ zu der Geraden gehört.
Was erkennst Du hieran? Es gibt affine Räume des [mm] $\IR^2$, [/mm] die keine Vektorräume sind.
Beispiel:
[mm] $G:=\{(x,y) \in \IR^2: y=3*x+7\}$ [/mm] ist ein affiner Unterraum des [mm] $\IR^2$, [/mm] der kein Vektorraum (bzw. Untervektorraum des [mm] $\IR^2$) [/mm] ist (was allerdings schön ist: es gibt einen engen Zusammenhang zwischen obigem [mm] $\black{G}$ [/mm] und einem zu [mm] $\black{G}$ [/mm] "parallelen" Untervektorraum).
Wenn Du nun im [mm] $\IR^3$ [/mm] irgendeine Gerade hernimmst, so gilt da das gleiche, nur dass hier der Ursprung mit $(0,0,0)$ gegeben ist. Zudem sind hier Ebenen auch affine Unterräume. Diese sind auch genau dann Untervektorräume des [mm] $\IR^3$, [/mm] wenn der Ursprung in der Ebene liegt.
Was Du Dir auch klar machen solltest:
Es gibt hier enge Zusammenhänge zwischen affinen Unterräumen und Unter(vektor)räumen. Man kann aus einem Unterraum durch eine Verschiebung einen affinen Unterraum basteln, umgekehrt kann man aus einem affinen Unterraum durch eine Verschiebung zu einem Unter(vektor)raum gelangen (und dieser ist dann eindeutig bestimmt).
Vielleicht hilft Dir der Link hier ja auch noch ein wenig weiter:_
http://mfb.informatik.uni-tuebingen.de/book/node231.html
Insbesondere wegen der Definition des Begriffes "Parallelität von affinen Räumen".
Also, wie schon oben angedeutet:
Vielleicht versuchst Du Dir erstmal, die Unterschiede zwischen Untervektorraum und affiner Unterraum in den Dir möglichen Anschauungsräumen klarzumachen. In einem gewissen Sinne ist der affine Raum dort eine "Erweiterung"...
Zudem:
In Bosch: Lineare Algebra
wird ein wenig versucht, das "abstraktere" auch ein wenig anschaulich zu motivieren. Erwarte dabei aber nicht zu viel, nichtsdestotrotz kannst Du ja mal gucken, ob Du die Möglichkeit hast, an das Buch ranzukommen (Unibibliothek), um mal kurz ein wenig reinzugucken...
Gruß,
Marcel
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