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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Do 08.12.2005 | | Autor: | Sanshine |
Also, hier meine zweite Frage. Erst einmal die Aufgabe:
Sei R= [mm] \IZ[\wurzel{2}] [/mm] und [mm] \alpha [/mm] : R* [mm] \to \IN [/mm] , [mm] a+b\wurzel{2} \mapsto |a^2-2b^2|. [/mm] Zz: [mm] (R,\alpha) [/mm] ist ein Euklidischer Bereich!
Also: Eigentlich ist mir die Vorgehensweise klar, aber ich befürchte an einer Stelle mache ich es mir deutlich zu einfach.
Zuerst betrachte ich zu [mm] a+b\wurzel2 [/mm] und [mm] c+d\wurzel2 \in [/mm] R den Quotienten in [mm] \IQ[\wurzel{2}]: [/mm] also [mm] \bruch{a+b\wurzel{2}}{c+d\wurzel{2}}:=u+v\wurzel{2}:=q \in \IQ[\wurzel{2}]. [/mm] Dann finde ich auf jeden Fall x,y [mm] \in \IZ [/mm] mit [mm] |u-x|\le \bruch{1}{2} [/mm] und [mm] |v-y|\le \bruch{1}{2}.
[/mm]
Also bekomme ich jetzt [mm] \alpha(u+v\wurzel{2}-(x+y\wurzel{2}))=\alpha((u-x)+(v-y)\wurzel{2})=|(u-x)^2-2(v-y)^2| \le_{(1)} |\bruch{1}{4}-2*\bruch{1}{4}|=\bruch{1}{4}<1.
[/mm]
Sollte oben die Ungleichung bei der (1) wider meiner Erwartung stimmen, kann ich auch so weitermachen (s.u.), aber ich bin mir eben nicht sicher, ob ich das so einfach rausziehen darf. Falls ich es nicht darf... Was für Alternativen habe ich? Und stimmt ansonsten mein Schluss???
[mm] r:=a+b\wurzel{2}-q(c+d\wurzel{2})
[/mm]
Dann gilt: [mm] \alpha(r)=\alpha(a+b\wurzel{2}-q(c+d\wurzel{2}))=\alpha(a+d\wurzel{2})*\alpha(\bruch{a+b\wurzel{2}}{c+d\wurzel{2}}-q)<\alpha(c+d\wurzel{2})
[/mm]
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Hallo Susann,
nur in Bezug auf diese Zeile:
> [mm]|u-x|\le \bruch{1}{2}[/mm] und [mm]|v-y|\le \bruch{1}{2}.[/mm]
> Also bekomme ich jetzt
> [mm]\alpha(u+v\wurzel{2}-(x+y\wurzel{2}))=\alpha((u-x)+(v-y)\wurzel{2})=|(u-x)^2-2(v-y)^2| \le_{(1)} |\bruch{1}{4}-2*\bruch{1}{4}|=\bruch{1}{4}<1.[/mm]
Die Ungleichung stimmt, obwohl die Abschätzung bei 1) falsch ist:
Die Differenz wird am kleinsten, wenn (u-x)² = 0 ist (da das wegen des ² auf jeden Fall positiv ist), also ist der von Dir abzuschätzende Betrag in diesem Fall = 2(v-y)²,
oder er wird am größten, wenn (v-y)²= 0 ist (da es ebenfalls positiv ist, also wird der Betrag in diesem Fall = (u-x)².
Gruß, Richard
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