Euklidischer Algorithmus \IQ[X < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Mi 12.05.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Man bestimmt einen größten gemeinsamen Teiler von f und g in [mm] \IQ[X]
[/mm]
f:= [mm] nX^{n+1}-(n+1)X^n+1
[/mm]
g:= [mm] X^n-nX+n-1 [/mm] |
Hallo zusammen,
sitze grade an dieser Aufgabe aber komme da nicht so ganz weiter!
Habe so angefangen:
Also hab den Euklidischen Algorithmus für Polynome benutzt, was ja eigentlich nichts anderes als eine Polynomdivision ist!
[mm] (nX^{n+1}-(n+1)X^n+1): (X^n-nX+n-1)
[/mm]
[mm] ->(nX^{n+1}-nX^n-X^n+1): (X^n-nX+n-1)= [/mm] nX-n-1
-( [mm] nX^{n+1} -n^2X^2+n^2X-nX)
[/mm]
= [mm] -nX^n [/mm] - [mm] X^n [/mm] + [mm] n^2X^2-n^2X+nX+1
[/mm]
[mm] -(-nX^n+n^2X-n^2+n)
[/mm]
= [mm] -X^n+n^2X^2-2n^2X+nX+n^2-n+1
[/mm]
[mm] -(-X^n+nX-n+1)
[/mm]
= [mm] n^2X^2-2n^2X+n^2
[/mm]
Das wäre dann:
[mm] nX^{n+1}-(n+1)X^n+1= (nX-n-1)(X^n-nX+n-1)+ (n^2X^2-2n^2X+n^2)
[/mm]
ist das bis hierhin richtig?
wenn ja, wie kann ich dann weitermachen oder bin ich schon fertig?
wollte das ja so machen:
[mm] (X^n-nX+n-1):(n^2X^2-2n^2X+n^2)=?
[/mm]
aber da komme ich auf kein ergebnis
würde mich über ein bisschen hilfe freuen
Gruß,
peeetaaa
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Jaja...der Müller :).
Also eigentlich ist es ja so, dass wenn man den Euklidischen Algorithmus anwendet, dass dann irgendwann nach einigen Polynomdivisionen mal der Rest null rauskommt. Aber der Rest ist ja hier auch nicht null, deshalb ist man leider wohl auch net fertig :(.
Aber wenn du Lust hast und noch keine Übungsgruppe hast, können wir uns ja mal zusammen ein bisschen mit LA rumschlagen? :)
Btw. Ich hab zum fun mal für n = 2 und n = 3 ausprobiert und witzig ist das bis auf ein Vielfaches der gleiche GGT rauskommt...
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