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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:49 Sa 15.03.2008 | | Autor: | Cabby |
| Aufgabe | In [mm] \IQ[/mm] [t] seien die Polynome
p:= [mm] t^4+2t^3+4t+2
[/mm]
[mm] q:=t^2+t+2
[/mm]
gegeben.
Zeigen Sie mit Hilfe des Euklidischen Algorithmuses, dass p und q teilerfremd sind.
Bestimmen Sie auch h,k [mm] \in \IQ[/mm] [t] mit 1=hp+kq
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Hallo
Mit der Notation der Lösung komme ich nicht klar. Dort steht
$p : q = [mm] t^2 [/mm] +t -3 =: [mm] s_1$
[/mm]
Rest: $r=5t+8$
$p = s_1q + [mm] r_1$
[/mm]
p:q kann vermutlich für eine Polynomdivision stehen. Damit kann ich es auch wunderbar nachvollziehen, aber jetzt
q : [mm] \frac{1}{5}r_1 [/mm] = t - [mm] \frac{3}{5} [/mm] = 5 [mm] s_2
[/mm]
Rest [mm] r_2= \frac{74}{25}
[/mm]
Das ist wieder eine Polynomdivision gewesen?
Schon kompliziert mit den ganzen krummen Werten.
Aber wenns eine Polynomdivision ist, habe ich es verstanden. Das Prinzip, auf dem Zettel kommen da immer andere Werte heraus.
Wie kommt man jetzt aber auf die Idee
[mm] $\frac{q}{1/5 *r_1} [/mm] = [mm] sr_2 [/mm] + [mm] \frac{r_2}{1/5 r_1} [/mm] $
Was soll denn hier s sein? Das ist ein Druckfehler und sollte wohl [mm] s_2 r_2 [/mm] heißen? Der Rest ist mir klar
[mm] $\gdw [/mm] q = [mm] r_1 s_2 [/mm] + [mm] r_2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow r_2 [/mm] = q- [mm] r_1 s_2 [/mm] = q - [mm] s_2 (p-s_1 [/mm] q)$
[mm] $=-s_2 [/mm] p + [mm] (1+s_1s_2) [/mm] q$
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> In [mm]\IQ[/mm] [t]seien die Polynome
> p:= [mm]t^4+2t^3+4t+2[/mm]
> [mm]q:=t^2+t+2[/mm]
> gegeben.
> Zeigen Sie mit Hilfe des Euklidischen Algorithmuses, dass p und q teilerfremd sind.
> Bestimmen Sie auch h,k [mm]\in \IQ[/mm] [t]mit 1=hp+kq
Hallo,
ja, da wurden fleißig Polynome dividiert, um am Ende den ggT zu erhalten:
[mm] t^4+2t^3+4t+2=(t^2+t+2)*(t^2 [/mm] + t - 3)+ (5t + 8) (man hat hierfür p:q berechnet)
[mm] t^2+t+2=(5t [/mm] + 8)(1/5t - 3/25) + 74 (Rechne [mm] (t^2+t+2):(5t [/mm] + 8) )
5t + 8= [mm] 74*(\bruch{5}{74}+\bruch{8}{74}) [/mm] + 0
Nun rückwärts:
[mm] 74=(t^2+t+2) [/mm] - (5t + 8)(1/5t - 3/25) nun 5t+8 ersetzen
[mm] =(t^2+t+2) [/mm] - [mm] [(t^4+2t^3+4t+2) [/mm] - [mm] (t^2+t+2)*(t^2 [/mm] + t - 3)]*(1/5t - 3/25)
= q - [p - [mm] q*(t^2 [/mm] + t - 3)]*(1/5t - 3/25)
=-(1/5t - 3/25)p + [mm] (1+(t^2 [/mm] + t - 3)]*(1/5t - 3/25))q
==> 1= - 1/74(1/5t - 3/25)p + 1/74 [mm] (1+(t^2 [/mm] + t - 3)]*(1/5t - 3/25))q
Also ist das gesuchte h=- 1/74(1/5t - 3/25) und k=1/74 [mm] (1+(t^2 [/mm] + t - 3)]*(1/5t - 3/25))
Dabei kann man wirklich verrückt werden.
![[]](/images/popup.gif) Beipiel mit Zahlen
Gruß v. Angela
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