Erzeugnis der Vereinigung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien U,V,W Unterräume. Zeigen Sie [mm] W\subseteq [/mm] U--> [mm] U\cap (V+W)=(U\cap [/mm] V)+W |
Also mein Problem ist folgendes
Ich fang mal vorne an
[mm] x\in U\cap(V+W)<->x\in U\wedge x\in(V+W)
[/mm]
[mm] <->x\in U\wedge x\in [/mm] <V [mm] \cup [/mm] W>
Das Problem ist, das man ja nicht davon ausgehen kann, das x auch in V [mm] \cup [/mm] W liegt, da die Vereinigung von Zwei vektorräumen ja in der Regel kein Vektorraum ist, und das Erzeugnis von V [mm] \cup [/mm] W ist dann ja der gesamte Vektorraum. Oder sehe ich das falsch. Für einen tipp wäre ich sehr dankbar
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> Seien U,V,W Unterräume. Zeigen Sie [mm]$ [mm] W\subseteq [/mm] $ U-> [mm]U\cap (V+W)=(U\cap[/mm]
> V)+W
> Also mein Problem ist folgendes
> Ich fang mal vorne an
> [mm]x\in U\cap(V+W)<->x\in U\wedge x\in(V+W)[/mm]
> [mm]<->x\in U\wedge x\in[/mm]
> <V [mm]\cup[/mm] W>
>
Hallo,
unter der Voraussetzung $ [mm] W\subseteq [/mm] $ U soll gezeigt werden
U [mm] \cap (V+W)=(U\cap [/mm] V)+W
Zu zeigen ist also
1.U [mm] \cap [/mm] (V+W) [mm] \subseteq (U\cap [/mm] V)+W und
[mm] 2.(U\cap [/mm] V)+W [mm] \subseteq [/mm] U [mm] \cap [/mm] (V+W)
zu 1: Ich greife Deinen Ansatz auf.
Sei [mm] x\in U\cap(V+W)
[/mm]
[mm] ==>x\in [/mm] U und [mm] x\in(V+W)
[/mm]
==> es gibt [mm] u\in [/mm] U, v [mm] \in [/mm] V, w [mm] \in [/mm] W mit x=u und x=v+w.
Also ist v=u+(-w). Da W Vektorraum, ist [mm] -w\in [/mm] W, und da n.V. W [mm] \subseteq [/mm] U,
ist v=u+(-w) [mm] \in [/mm] U.
Also ist v [mm] \in [/mm] ???.
Wegen x=(u+(-w))+w ist x [mm] \in [/mm] ???.
Wenn Du das verdaut hast, wird Dir sicher auch etwas für den "Rückweg" einfallen.
> Das Problem ist, das man ja nicht davon ausgehen kann, das
> x auch in V [mm]\cup[/mm] W liegt,
x [mm] \in [/mm] V+W sagt, daß x zusammengesetzt (addiert) ist aus einem Vektor aus V und einem aus W. x muß weder in V noch in W liegen, also auch nicht in V [mm] \cup [/mm] W.
da die Vereinigung von Zwei
> vektorräumen ja in der Regel kein Vektorraum ist, und das
> Erzeugnis von V [mm]\cup[/mm] W ist dann ja der gesamte Vektorraum.
Nicht unbedingt. Nimm als Oberraum den [mm] \IR^3, [/mm] als V und W zwei beliebige sich schneidende Geraden. Das Erzeugnis der Vereinigung ist eine Ebene, aber nicht der ganze Raum. Und was ist die Vereinigung? Das "dünne" Kreuz,
bestehend aus den beiden Geraden.
Gruß v. Angela
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