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| Aufgabe | Es ist dimK(V ) = n und B =(b1,...,bn) ist eine geordnete Basis von V.
Für jedes i [mm] \in{1,...,n} [/mm] ist Li:= <bi> und xi: V [mm] \to [/mm] V beizeichnet die Projektion auf Li.
Sei nun s [mm] \in [/mm] {1,..,n}. Was ist dann die Abbildungsmatrix M(xj, B,B), was das charakteristische Polynom Pxj und bestimme die Eigenwerte von xj. |
Mein Problem ist es die Abbildungsmatrix aufzustellen ? Könnte mir vllt jemnad einen Tipp geben wie ich die aufstellen kann.
Wird für einen Vektor aus v [mm] \in [/mm] V v unter xi dann auf bi projeziert oder wie kann ich mir das vorstellen?
Im Voraus vielen Dank für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Di 19.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Die Abbildung [mm] $x_i:V \to [/mm] V$ ist wie folgt definiert:
ist $v [mm] \in [/mm] V$, so ex. eindeutig bestimmte [mm] $t_1,...,t_n \in [/mm] K$ mit
[mm] $v=\summe_{j=1}^{n}t_jb_j$. [/mm] Dann: [mm] x_i(v)=t_ib_i.
[/mm]
Damit haben wir:
[mm] x_i(b_j)=0, [/mm] falls j [mm] \ne [/mm] i und [mm] x_i(b_i)=b_i.
[/mm]
Wie sieht nun die gesuchte Abb. - Matrix aus ?
FRED
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Naja dann müsste ja überall Nullen sein ausser in der i-ten Zeile und j-ten Spalte müsste bi stehen oder ?
Also :
[mm] \pmat{ 0 & 0 & ...& 0 &0 \\ 0 & 0 & ... &0 & 0 \\ ...\\ 0& ...& bi & 0& 0\\...\\0& 0 &... &0&0}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:19 Mi 20.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Naja dann müsste ja überall Nullen sein ausser in der
> i-ten Zeile und j-ten Spalte müsste bi stehen oder ?
> Also :
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & ...& 0 &0 \\ 0 & 0 & ... &0 & 0 \\ ...\\ 0& ...& bi & 0& 0\\...\\0& 0 &... &0&0}[/mm]
Das ist doch Unfug ! Da wo sich Zeile i und Spalte i kreuzen steht eine 1 und sonnst nur Nullen.
FRED
>
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Okay das das in da wo sich i-te Spalte und i-te Zeile kreuzen ein EIntrag steht hab ich nun verstanden, aber warum steh da eine 1 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:32 Mi 20.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Okay das das in da wo sich i-te Spalte und i-te Zeile
> kreuzen ein EIntrag steht hab ich nun verstanden, aber
> warum steh da eine 1 ?
Wegen $ [mm] x_i(b_i)=b_i=1*b_i [/mm] $
FRED
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Ah okay Dankeschön, stimmt ja die Einträge inder Matrix sind ja die Koeffinzienten und nicht die Vektoren selbst ;)
Vielen Dank ;)
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