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| Aufgabe | | Wie viele Erzeuger gibt es in (Z/14Z)* ? |
Hallo Leute,
bei der Frage hänge ich gerade ein wenig. In meiner Lösung steht, dass nach dem chinesischen Restsatz (Z/14Z)* isomorph zu (Z/7Z)* ist. Das heißt, ich müsste nur die Erzeuger von (Z/7Z)* suchen?
Weiterhin steht in der Musterlösung, dass (Z/7Z,*)* isomorph zu (Z/6Z,+) ist. Teilerfremd zu 6 sind nur 1 und 5, so dass dies die einzigen Erzeuger seien.
So, aber nun kann ich mit 3 doch auch alle Elemente in (Z/7Z)* erzeugen. Warum ist die 3 dann kein Erzeuger?!?
Ich hoffe, ihr versteht mein Problem...
Liebe Grüße
Sabine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Mi 24.08.2011 | | Autor: | wieschoo |
Gilt nicht
[mm] $\IZ/14\IZ \cong \IZ/2\IZ \times \IZ/7\IZ$
[/mm]
und somit das auch entsprechend für die Zyklische Gruppe?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Mi 24.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gilt nicht
> [mm]\IZ/14\IZ \cong \IZ/2\IZ \times \IZ/7\IZ[/mm]
Ja, aber [mm] $(\IZ/2\IZ)^\ast$ [/mm] ist trivial.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:25 Mi 24.08.2011 | | Autor: | wieschoo |
> Moin!
>
> > Gilt nicht
> > [mm]\IZ/14\IZ \cong \IZ/2\IZ \times \IZ/7\IZ[/mm]
>
> Ja, aber [mm](\IZ/2\IZ)^\ast[/mm] ist trivial.
Mhm ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") . Stimmt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Mi 24.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wie viele Erzeuger gibt es in (Z/14Z)* ?
> Hallo Leute,
> bei der Frage hänge ich gerade ein wenig. In meiner
> Lösung steht, dass nach dem chinesischen Restsatz (Z/14Z)*
> isomorph zu (Z/7Z)* ist. Das heißt, ich müsste nur die
> Erzeuger von (Z/7Z)* suchen?
> Weiterhin steht in der Musterlösung, dass (Z/7Z,*)*
> isomorph zu (Z/6Z,+) ist. Teilerfremd zu 6 sind nur 1 und
> 5, so dass dies die einzigen Erzeuger seien.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> So, aber nun kann ich mit 3 doch auch alle Elemente in
> (Z/7Z)* erzeugen. Warum ist die 3 dann kein Erzeuger?!?
Nun, [mm] $3+7\IZ$ [/mm] ist ein Erzeuger von [mm] $(\IZ/7\IZ)^\ast$. [/mm] Und wenn [mm] $\varphi [/mm] : [mm] (\IZ/7\IZ)^\ast \to \IZ/6\IZ$ [/mm] der Isomorphismus ist, dann ist [mm] $\varphi(3+7\IZ)$ [/mm] entweder [mm] $1+6\IZ$ [/mm] oder [mm] $5+6\IZ$, [/mm] also sehr wohl ein Erzeuger von [mm] $\IZ/6\IZ$.
[/mm]
Jedoch ist [mm] $3+7\IZ$ [/mm] kein Erzeuger von [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] (nichtmals ein Element!), und umgekehrt [mm] $1+6\IZ$ [/mm] und [mm] $5+6\IZ$ [/mm] weder Elemente noch Erzeuger von [mm] $(\IZ/7\IZ)^\ast$
[/mm]
LG Felix
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Hmm, ja, das sehe ich ein - aber wie kann ich dann daraus schlussfolgern, welche Elemente davon Erzeuger von (Z/14Z)* sind? Ich mein, irgendwie müssen die Isomorphien mir doch Auskunft darüber geben können, welche Elemente nun Erzeuger sind und welche nicht. Wenn ich nun in den Isomorphismus (Z/7Z)* ist 3 ein Erzeuger, bei (Z/6Z,+) aber nicht. Sorry, aber ich verstehe das mit den Isomorphismen iwie nicht so ganz... :-(
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> Hmm, ja, das sehe ich ein - aber wie kann ich dann daraus
> schlussfolgern, welche Elemente davon Erzeuger von (Z/14Z)*
> sind? Ich mein, irgendwie müssen die Isomorphien mir doch
> Auskunft darüber geben können, welche Elemente nun
> Erzeuger sind und welche nicht.
Hallo,
tun sie auch - allerdings müßtest Du die Isomorphismen erstmal haben.
Nun, bei [mm] ((\IZ/ 7\IZ)^{\*},\*) [/mm] und [mm] (\IZ/6\IZ,+) [/mm] ist es ja wenig mühsam, einfach durchzutesten, welches der Elemente ein Erzeuger ist.
Und aufgrund der Isomorphie von [mm] ((\IZ/ 14\IZ)^{\*},\*) [/mm] und [mm] ((\IZ/ 7\IZ)^{\*},\*) [/mm] kennst Du dann schonmal die Anzahl der Erzeuger in [mm] ((\IZ/ 14\IZ)^{\*},\*) [/mm] . Mehr will man ja gar nicht von Dir wissen.
> Wenn ich nun in den
> Isomorphismus (Z/7Z)* ist 3 ein Erzeuger, bei (Z/6Z,+) aber
> nicht.
Sorry, ich verstehe den Satz überhaupt nicht...
> Sorry, aber ich verstehe das mit den Isomorphismen
> iwie nicht so ganz... :-(
Was ein Isomorphismus ist, weißt Du aber?
Es ist also
[mm] ((\IZ/ 14\IZ)^{\*},\*)\simeq ((\IZ/ 7\IZ)^{\*},\*)\simeq (\IZ/6\IZ,+).
[/mm]
Vielleicht notierst Du ruhig mal die Elemente der drei Gruppen.
Jede der drei Gruppen enthält andere Elemente, aber es sind in jedem Fall 6 Stück, und Du kannst Dich davon überzeugen, daß die Gruppen allesamt zyklisch sind. Also sind sie isomorph.
Du hast recht, daß das Element [mm] 3_7\in (\IZ\7\IZ)^{\*} [/mm] ein Erzeuger von [mm] ((\IZ/ 7\IZ)^{\*},\*) [/mm] ist.
Ein Erzeuger von [mm] (\IZ/6\IZ,+) [/mm] kann es schon deshalb nicht sein, weil [mm] 3_7\not\in\IZ/6\IZ.
[/mm]
In [mm] \IZ/6\IZ [/mm] ist aber das Element [mm] 3_6, [/mm] welches jedoch, wie Du richtig feststellst, kein Erzeuger von [mm] (\IZ/6\IZ,+) [/mm] ist.
Irgendwoher weißt Du, daß [mm] ((\IZ/ 7\IZ)^{\*},\*)\simeq (\IZ/6\IZ,+).
[/mm]
Beide Gruppen sind zyklisch, Erzeuger müssen vom Isomorphismus auf Erzeuger abgebildet werden.
Ein möglicher Isomorphismus [mm] \varphi:(\IZ/6\IZ,+)\to((\IZ/ 7\IZ)^{\*},\*) [/mm] wäre der durch [mm] \varphi(1_6):=3_7 [/mm] definierte.
Auf welches Element wird durch diesen Isomorphismus die [mm] 5_6 [/mm] abgebildet?
Überzeuge Dich davon, daß [mm] \varphi(5_6) [/mm] ein erzeugendes Element von [mm] ((\IZ/ 7\IZ)^{\*},\*) [/mm] ist.
Ich hoffe, daß ich Deine Fragen beantwortet habe. Ganz sicher bin ich mir nicht.
Gruß v. Angela
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