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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Sa 16.03.2013 | | Autor: | Labrinth |
| Aufgabe | Meine Frage bezieht sich auf Aufgabe 2 und deren Lösung unter diesem ![[]](/images/popup.gif) Link. |
Guten Abend,
Meine Frage wäre, ob es nicht in der ersten Formel der Lösung - und den anderen entsprechen - heißen müsste
[mm] $\qquad{}a=\sum_{i=1}^\ell\sum_{j=1}^k\lambda_{ij}\big(\alpha_{\sigma_\alpha(i)}x_{\sigma_x(j)}\big)$,
[/mm]
für natürliche Zahlen [mm] $k,\ell$ [/mm] und gewisse Indizierungen [mm] $\sigma_\alpha$ [/mm] und [mm] $\sigma_x$ [/mm] der Mengen [mm] $\{1,\dots,m\}$ [/mm] und [mm] $\{1,\dots,n\}$?
[/mm]
Denn so, wie es im Link steht, tritt ja jeder Vektor aus den Erzeugendsystemen genau einmal auf. Ich dachte aber, er kann auch gar nicht oder mehrmals auftreten in der Summe?
Über Klärungen meiner Zweifel wäre ich sehr dankbar.
Beste Grüße,
Labrinth
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Hallo,
> Meine Frage bezieht sich auf Aufgabe 2 und deren Lösung
> unter diesem
> Link.
> Meine Frage wäre, ob es nicht in der ersten Formel der
> Lösung - und den anderen entsprechen - heißen müsste
>
> [mm]\qquad{}a=\sum_{i=1}^\ell\sum_{j=1}^k\lambda_{ij}\big(\alpha_{\sigma_\alpha(i)}x_{\sigma_x(j)}\big)[/mm],
>
> für natürliche Zahlen [mm]k,\ell[/mm] und gewisse Indizierungen
> [mm]\sigma_\alpha[/mm] und [mm]\sigma_x[/mm] der Mengen [mm]\{1,\dots,m\}[/mm] und
> [mm]\{1,\dots,n\}[/mm]?
Nein, die verwendete Formel in der Lösung ist OK.
> Denn so, wie es im Link steht, tritt ja jeder Vektor aus
> den Erzeugendsystemen genau einmal auf. Ich dachte aber, er
> kann auch gar nicht oder mehrmals auftreten in der Summe?
Genau, das ist möglich. Beide Fälle sind aber mit der Darstellung in der Lösung vereinbar. Machen wir mal ein einfacheres Beispiel:
Angenommen, wir wollen zeigen, dass ein Vektor $a = [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_1$ [/mm] durch [mm] (x_1,x_2) [/mm] über dem Körper [mm] $\IR$ [/mm] erzeugt wird.
Dann kann man doch schreiben:
$a = [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_1 [/mm] = [mm] 2*x_1 [/mm] + [mm] 0*x_2$
[/mm]
Also habe ich es in der Form [mm] $\lambda_1*x_1 [/mm] + [mm] \lambda*x_2$ [/mm] geschrieben.
Der "Trick" ist eben einfach nur:
Nicht auftauchende Vektoren kann ich einfach durch den Vorfaktor 0 nicht in die Summe eingehen lassen.
Doppelte auftauchende Vektoren können durch Summieren der Vorfaktoren in einen Summanden verwandelt werden.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 So 17.03.2013 | | Autor: | Labrinth |
> Hallo,
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>
> > Meine Frage bezieht sich auf Aufgabe 2 und deren Lösung
> > unter diesem
> >
> Link.
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> > Meine Frage wäre, ob es nicht in der ersten Formel der
> > Lösung - und den anderen entsprechen - heißen müsste
> >
> >
> [mm]\qquad{}a=\sum_{i=1}^\ell\sum_{j=1}^k\lambda_{ij}\big(\alpha_{\sigma_\alpha(i)}x_{\sigma_x(j)}\big)[/mm],
> >
> > für natürliche Zahlen [mm]k,\ell[/mm] und gewisse Indizierungen
> > [mm]\sigma_\alpha[/mm] und [mm]\sigma_x[/mm] der Mengen [mm]\{1,\dots,m\}[/mm] und
> > [mm]\{1,\dots,n\}[/mm]?
>
>
> Nein, die verwendete Formel in der Lösung ist OK.
>
>
> > Denn so, wie es im Link steht, tritt ja jeder Vektor aus
> > den Erzeugendsystemen genau einmal auf. Ich dachte aber, er
> > kann auch gar nicht oder mehrmals auftreten in der Summe?
>
> Genau, das ist möglich. Beide Fälle sind aber mit der
> Darstellung in der Lösung vereinbar. Machen wir mal ein
> einfacheres Beispiel:
>
> Angenommen, wir wollen zeigen, dass ein Vektor [mm]a = x_1 + x_1[/mm]
> durch [mm](x_1,x_2)[/mm] über dem Körper [mm]\IR[/mm] erzeugt wird.
>
> Dann kann man doch schreiben:
>
> [mm]a = x_1 + x_1 = 2*x_1 + 0*x_2[/mm]
>
> Also habe ich es in der Form [mm]\lambda_1*x_1 + \lambda*x_2[/mm]
> geschrieben.
> Der "Trick" ist eben einfach nur:
>
> Nicht auftauchende Vektoren kann ich einfach durch den
> Vorfaktor 0 nicht in die Summe eingehen lassen.
> Doppelte auftauchende Vektoren können durch Summieren der
> Vorfaktoren in einen Summanden verwandelt werden.
Gerade, als ich noch eine Gegenfrage stellen wollte, ist es mir klar geworden. Danke für die Erklärung 
Beste Grüße,
Labrinth
>
> Viele Grüße,
> Stefan
P.S.: Mist, jetzt habe ich vergessen, daraus eine Mitteilung zu machen. Kann man das ändern?
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