Erzeugendensysteme < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
| Aufgabe | Sei x [mm] \in \IQ [/mm] beliebig. Begründen Sie, warum für die von x erzeugte Untergruppe von [mm] \IQ
[/mm]
<x> = { kx | k [mm] \in \IZ}
[/mm]
gilt. Beweisen Sie, dass [mm] _{\IQ} \not= \IQ [/mm] ist, wie auch immer man x [mm] \in \IQ [/mm] wählt. |
Hallo,
ich fänd's schön, wenn mal einer drüber schauen würde und mir sagen könnte, ob das alles so richtig ist..
Vor.: x [mm] \in \IQ [/mm] beliebig.
Beh.: <x> = { kx | k [mm] \in \IZ} [/mm] ist Untergruppe von [mm] \IQ.
[/mm]
Begründung:
Sei x eine rationale Zahl [mm] \bruch{p}{q} [/mm] mit p [mm] \in \IZ [/mm] und q [mm] \in \IN [/mm] ohne 0.
Dann ist [mm] \bruch{p}{q} [/mm] * k = [mm] \bruch{p*k}{q} [/mm] .
p*k [mm] \in \IZ [/mm] und q [mm] \in \IN [/mm] ohne 0.
[mm] \Rightarrow [/mm] X [mm] \subset \IQ. [/mm]
reicht diese Begründung denn?
Vor.: x [mm] \in \IQ [/mm] beliebig.
Beh.: [mm] _{\IQ} \not= \IQ [/mm] .
Beweis durch Widerspruch:
Annahme: Wenn [mm] _{\IQ} [/mm] Erzeugendensystem von [mm] \IQ [/mm] ist, dann kann durch die rationale Zahl [mm] \bruch{p}{q} [/mm] jedes Element aus [mm] \IQ [/mm] dargestellt werden, also auch [mm] \bruch{p}{q+1}, \forall [/mm] p [mm] \in \IZ [/mm] und q [mm] \in \IN [/mm] ohne 0.
Beweis:
[mm] <\bruch{p}{q}>= \bruch{p}{q} [/mm] * [mm] \bruch{p}{q} [/mm] = [mm] \bruch{p²}{q²} \not= \bruch{p}{q+1}
[/mm]
-> durch kein Produkt von [mm] \bruch{p}{q} [/mm] lässt sich [mm] \bruch{p}{q+1} [/mm] darstellen. WIDERSPRUCH!
Somit ist die Behauptung [mm] _{\IQ} \not= \IQ [/mm] richtig.
hier glaub ich, ist mein Beweis viel zu speziell, aber ich weiß nicht, wie ich ihn allgemeiner aufschreiben könnte...
Vielen Dank schonmal.
Gruß Maren
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
is da denn schon alle Hoffnung verloren? ... :-L
was ich noch vergessen hab:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Maren,
ich denke, deine Begründung für (a) reicht nicht aus.
Zeige doch die 3 Untegruppenkriterien:
Sei [mm] $x\in\IQ$
[/mm]
$(U,+)=(<x>,+)$ ist Untergruppe von [mm] $(\IQ,+)$, [/mm] wenn gilt:
(1) [mm] $U\ne\emptyset$ [/mm] bzw. [mm] $0\in [/mm] U$
(2) [mm] $\forall u_1,u_2\in U:u_1+u_2\in [/mm] U$
(3) [mm] $\forall u\in U\exists u^{-1}\in [/mm] U$
Ich mach mal den Start für (2):
Seien also [mm] $u_1,u_2\in U\Rightarrow\exists k_1,k_2\in\IZ:k_1x=u_1\wedge k_2x=u_2$
[/mm]
Damit [mm] $u_1+u_2=k_1x+k_2x=\underbrace{(k_1+k_2)}_{\in\IZ}\cdot{}x\in [/mm] U$
zur (b)
da ist ein Widerspruchsbeweis genau der richtige Weg.
Aber die Begründung hapert irgendwie. Es ist doch für [mm] $x=\frac{p}{q}$ [/mm] doch [mm] $\frac{p}{q}\cdot{}\frac{p}{q}$ [/mm] für [mm] $\frac{p}{q}\not\in\IZ$
[/mm]
per definitionem nicht in U
Aber wenn du [mm] $x=\frac{p}{q}$ [/mm] wählst und versuchst, [mm] $\frac{p}{q+1}\in\IQ$ [/mm] durch ein (ganzzahliges Vielfaches) $k$-faches von [mm] $\frac{p}{q}$ [/mm] zu erzeugen, dann kommt der Widerspruch
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Sa 05.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
Hey schachuzipus,
vielen Dank. hab mir ja schon halb gedacht, dass der erste Teil zu einfach war..
die Aufgabe hat noch nen zweiten Teil, an den wag ich mich morgen mal ran, dann gibt's höchstwahrscheinlich nochmal was zum Korrigieren 
Lieber Gruß
Maren
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 So 06.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
Hallo,
oh man, ich steh grad total auf dem Schlauch.. entweder is es wirklich zu schwer, oder ich denk wieder viel zu kompliziert..
wie beweis ich denn die Existenz des Inversen?
was muss denn da gezeigt werden? etwa das [mm] u*u^{-1} [/mm] = [mm] u^{-1}*u [/mm] ist? .. komm mir grad bissel doof vor. :(
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Hallo nochmal,
ich würde sagen, du denkst zu kompliziert
Mit [mm] $u\in [/mm] U$ gilt doch [mm] $\exists k\in\IZ:u=k\cdot{}x$
[/mm]
Wie könnte denn dann [mm] $u^{-1}$ [/mm] aussehen?
Bedenke [mm] $u+u^{-1}=0$
[/mm]
Einfacher denken
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 So 06.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
Hey,
also beweise ich die Existenz eines Inversen so:
u + [mm] u^{-1} [/mm] = (k*x) + [mm] (k*x)^{-1} [/mm] = kx + [mm] k^{-1}x^{-1} [/mm] = 0
da 0 [mm] \in [/mm] U (was ich ja schon durch das erste Untergruppenkriterium bewiesen hab) ist auch [mm] u^{-1} \in [/mm] U. ?
achja und noch zu dem ersten Kriterium, reicht es dazu zu sagen, dass u [mm] \in [/mm] U also [mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] : u= k*x = 0 => k=0 => 0 [mm] \in [/mm] U ?
schonmal vielen Dank!
Maren
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Hallo Maren,
nicht ganz, also mit u=kx ist ein [mm] u^{-1} [/mm] bzw -u gesucht, so dass [mm] u+u^{-1}(bzw. [/mm] u+(-u))=0 ist
Wenn also u=kx ist, so wähle als -u einfach -kx.
Das ist sicherlich auch in U, denn wenn [mm] k\in\IZ [/mm] ist, ist es -k sicher auch
Dann gilt u+(-u)=kx+(-k)x=(k-k)x=0x=0
zum 1. Kriterium:
jein
Wenn [mm] =\{kx|k\in\IZ\} [/mm] ist , so ist doch sicherlich mit [mm] k=0\in\IZ [/mm] auch [mm] 0\cdot{}x=0 [/mm] in <x>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 So 06.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
ok, naja, meine Version ging ja schon so in etwa in die Richtung ^^
vielen Dank!
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> Sei x [mm]\in \IQ[/mm] beliebig. Begründen Sie, warum für die von x
> erzeugte Untergruppe von [mm]\IQ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> <x> = { kx | k [mm]\in \IZ}[/mm]
> gilt.
Hallo,
ich verstehe die Aufgabenstellung anders als Du, Maren88, und schachuzipus.
Meiner Meinung steht überhaupt nicht zur Debatte, ob das Untergruppen sind, sondern es geht um die Gleichheit der Mengen.
Und noch ein Hinweis zu etwas, was mir weiter unten in die Augen sprang:
Wenn man es mit additiven Gruppen zu tun hat, vereinfacht man sich das Leben oft sehr, wenn man das Inverse zu einem Element a mit (-a) bezeichnet und nicht mit [mm] a^{-1}. [/mm] Erstens ist das so üblich, und zweitens entspricht es der Lebenserfahrung "a+(-a)=0", so daß man nicht so leicht verwirrt ist.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
Was meinst du genau mit Gleichheit der Mengen?
Ich denke <x> ist durch diese Menge [mm] \{kx|k\in\IZ\} [/mm] definiert.
Ich denke, dass man nachweisen soll, dass das ne UGR von [mm] \IQ [/mm] is.
Wie hast du es denn genau aufgefasst?
Würde mich mal interessieren 
Lieben Gruß
schachuzipus
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> Hallo Angela,
>
> Was meinst du genau mit Gleichheit der Mengen?
>
> Ich denke <x> ist durch diese Menge [mm]\{kx|k\in\IZ\}[/mm]
> definiert.
Hallo,
ich habe Algebra weitgehend nach dem Meyberg gelernt.
Die von einer Teilmenge T einer Gruppe G erzeugte Untergruppe <T> ist hier erklärt als Durchschnitt aller Untergruppen von G, welche T enthalten.
Eine Folgerung hieraus ist, daß man <T> aus sämtlichen endlichen Summen von [mm] T\cup [/mm] (-T) erhält, womit man dann in der Tat im konkreten Fall bei [mm] \{kx|k\in\IZ\} [/mm] ist.
Die Formulierung von Maren((s Aufgabe,
> Begründen Sie, warum für die von x erzeugte Untergruppe von [mm] \IQ [/mm] <x> = { kx | k [mm] \in \IZ \} [/mm] gilt,
deutet für mich äußerst stark darauf hin, daß die Gleichheit der Mengen zur Debatte steht und nicht die Untergruppeneigenschaft. Denn es ist ja (lt. dem, was ich gelernt habe) <x> bereits per definitionem eine Untergruppe von [mm] \IQ.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 So 06.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
hätte dann doch meine "einfache" Begründung ausgereicht, um die Frage zu beantworten, da ich ja anfangs davon ausgegangen bin, dass <x> [mm] \subset \IQ?
[/mm]
also:
Vor.: x $ [mm] \in \IQ [/mm] $ beliebig.
Beh.: <x> = {kx | k [mm] \in \IZ [/mm] } ist Untergruppe von [mm] \IQ. [/mm]
Begründung:
Sei x eine rationale Zahl $ [mm] \bruch{p}{q} [/mm] $ mit p $ [mm] \in \IZ [/mm] $ und q $ [mm] \in \IN [/mm] $ ohne 0.
Dann ist $ [mm] \bruch{p}{q} [/mm] $ * k = $ [mm] \bruch{p\cdot{}k}{q} [/mm] $ .
p*k $ [mm] \in \IZ [/mm] $ und q $ [mm] \in \IN [/mm] $ ohne 0.
$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ X $ [mm] \subset \IQ. [/mm] $
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Mit Deiner "einfachen Begründung" hast Du gezeigt, daß die Menge [mm] \{kx|...\} [/mm] eine Teilmenge von [mm] \IQ [/mm] ist - keine echte Neuigkeit, und l eine der Voraussetzungen dafür, daß es überhaupt eine Untergruppe von [mm] \IQ [/mm] sein kann.
Nochmal, weil Du anscheinend nicht verstanden hast, was ich meine: ich rede davon, daß man die Gleichheit von <x> und [mm] \{kx|...\} [/mm] zeigen soll.
Ob ich damit wirklich recht habe, kann man vielleicht entscheiden, wenn Du einen Blick in Dein Skript tust, und schaust, wie die von T erzeugte Untergruppe <T> erklärt ist, und was Ihr über Ihr Aussehen schon wißt. Wenn's schon gezeigt ist, braucht man's nicht nochmal zu zeigen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 So 06.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
natürlich hab ich schon ins Skript reingeschaut, nur hilft mir das überhaupt nich weiter.. da steh nur:
Sei G Gruppe, M [mm] \subset [/mm] G eine Teilmenge. Dann nennt man
[mm] \bigcap_{M \subset U}^{} [/mm] U =: <M>
die von M erzeugte Untergruppe von G.
<M> ist also die kleinste M enthaltende Untergruppe von G.
Beispiel: [mm] <\emptyset> [/mm] = {1} [mm] \subset [/mm] G.
und ist <x> = {kx | k [mm] \in \IZ [/mm] } keine Voraussetzung? ich dachte ich müsste zeigen dass <x> Untergruppe von [mm] \IQ [/mm] ist.. bzw. nicht beweisen sondern nur begründen.
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> natürlich hab ich schon ins Skript reingeschaut, nur hilft
> mir das überhaupt nich weiter.. da steh nur:
>
> Sei G Gruppe, M [mm]\subset[/mm] G eine Teilmenge. Dann nennt man
> [mm]\bigcap_{M \subset U}^{}[/mm] U =: <M>
> erzeugte Untergruppe</u> von G.
> <M> ist also die kleinste M enthaltende Untergruppe von
> G.
Eben, mein Reden. So ist <M> definiert.
Dementsprechend ist <x> die kleinste Untergruppe, welche [mm] \{x\} [/mm] enthält, und nicht per se [mm] =\{kx| k\in \IZ\}
[/mm]
>
> und ist <x> = {kx | k [mm] \in \IZ [/mm] } keine Voraussetzung?
Nein. Das ist das, was u.a. gezeigt weren soll.
> dachte ich müsste zeigen dass <x> Untergruppe von [mm]\IQ[/mm] ist.
Nein, das ist bereits klar.
Versuche, die Sache nochmal in Ruhe zu durchdenken, und zwar nicht im Hinblick auf "wie beweise ich das?", sondern unter dem Aspekt "wieso ist da etwas zu beweisen?".
Erst dann hat es Zweck, sich an den Beweis zu machen, weshalb ich im Moment davon Abstand nehme, Tips zur Durchführung zu geben.
Na, einen Tip habe ich doch noch vorweg: vielleicht steht in Deinem Skript bereits bewiesen, daß <M> aus allen endlichen Produkten, die man aus Elementen von [mm] M\cup M^{-1} [/mm] bilden kann, besteht.
Das bezieht sich auf Gruppen in multiplikativer Darstellung.
Wenn Du das passend für eine Gruppe in additiver Darstellung ummodelst, hast Du es.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 So 06.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
hmpf,.. also muss ich quasi beweisen warum aus <x> auch {k*x| k [mm] \in \IZ} [/mm] folgt und weshalb da nich einfach "nur" <x>= {x} steht bzw. stehen kann..?
aber das ist doch eigentlich recht logisch oder?
ob ich jetzt x+x+....+x schreibe oder einfacher k*x . außer ich lieg ma wieder komplett falsch..
leider haben wir dazu nix bewiesen, auch nich das mit dem [mm] M\cup M^{-1}. [/mm] das was ich oben aufgeschrieben hab, war die einzigste Definition die wir dazu aufgeschrieben haben.
ich hab auch noch nich allzu viele Kenntnisse, da ich erst dieses Semester angefangen hab zu studieren..
ich werd auch mal morgen in unsere Unibibliothek gehn und schaun, ob ich da ein hilfreiches Buch finde..
Gruß Maren
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> also muss ich quasi beweisen warum aus <x> auch
> {k*x| k [mm]\in \IZ}[/mm] folgt und weshalb da nich einfach "nur"
> <x>= {x} steht bzw. stehen kann..?
Langsam näherst Du Dich dem Punkt, den ich Dir nahezubringen versuchte.
Es ist zu zeigen, daß
A. <x> [mm] \subseteq [/mm] {k*x| [mm] k\in \IZ}
[/mm]
und
B. {k*x| k [mm] \in \IZ} \subseteq [/mm] <x>.
> aber das ist doch eigentlich recht logisch oder?
Sonst könnte man es nicht beweisen, oder? Man muß nur wissen wie.
Das Schöne: wenn man es bewiesen hat, kann man es immer wieder ohne großes Nachdenken verwenden.
Man kann sich aus den Untergruppeneigenschaften recht B. überlegen:
<x> ist nach Def. eine Untergruppe, welche x enthält. Wg,. der UG_Eigenschaften sind alle Elemente kx in <x> enthalten, also ist {k*x| k [mm] \in \IZ} \in [/mm] <x>.
zu A.
{k*x| k [mm] \in \IZ} [/mm] ist eine Untergruppe von [mm] \IQ. [/mm]
(ich werde allmählich wirr, aber das hattest Du in Vorlesung oder Thread gezeigt, oder? Ist nicht schwer. Ich muß mich diesbezüglich auch mein erstes Post zum Thema korrigieren: wenn die Gruppeneigenschaft für {k*x| k [mm] \in \IZ} [/mm] in der Vorlesung nicht gezeigt wurde, mußt Du es jetzt tun, denn sonst funktioniert die von mir vorgestellte Lösung nicht.).
Es ist [mm] \{x\} [/mm] subseteq {k*x| k [mm] \in \IZ}.
[/mm]
Also ist {k*x| k [mm] \in \IZ} [/mm] eine UG von [mm] \IQ, [/mm] welche [mm] \{x\} [/mm] enthält.
Nun ist <x> definitionsgemäß der Durchschnitt sämtlicher Untergruppen, die [mm] \{x\} [/mm] enthalten.
Wenn <x> in jeder dieser UG liegt, liegt <x> auch in {k*x| k [mm] \in \IZ}.
[/mm]
Also <x> [mm] \subseteq [/mm] {k*x| k [mm] \in \IZ}
[/mm]
Insgesamt ist hiermit die Behauptung gezeigt.
> ob ich jetzt x+x+....+x schreibe oder einfacher k*x .
> außer ich lieg ma wieder komplett falsch..
Das ist richtig. k*x ist eine abkürzende Schreibweise für x+x+....+x .
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
ok, danke, ich glaub das hab ich jetzt so einigermaßen verstanden.
setz mich jetzt nochmal an die zweite Aufgabe ran.. :-o
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 So 06.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
hey,
ich glaub ich weiß was du meist Angela.
aber wenn es um die Gleichheit der Mengen [mm] (\IQ [/mm] und X) ginge stünde da glaube ich <x> [mm] _{\IQ} [/mm] ={kx | k [mm] \in \IZ [/mm] } ..
Gruß Maren
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>
> aber wenn es um die Gleichheit der Mengen [mm](\IQ[/mm] und X)
> ginge
Wenn Du so etwas meinst <x> = [mm] \IQ:
[/mm]
nee, da soll ja gerade das Gegenteil von bewiesen werden, daß [mm] \IQ [/mm] nömlich nicht von einem Element erzeugt wird (also nicht zyklisch ist).
Ich meine es so, wie ich schachuzipus geantwortet habe.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 So 06.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass sich die Gruppe [mm] \IZ [/mm] da ganz anders verhält, indem sogar folgendes richtig ist: Zu jeder Untergruppe U [mm] \subset \IZ [/mm] gibt es eine eindeutige Zahl n [mm] \in \IZ [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 0 und U = <n>.
Bemerkungen: In diesem Sinne kennt man also die Untergruppe von [mm] \IZ [/mm] ganz explizit! - Denken Sie, um die Aufgabe zu lösen, vor allem an die kleinste positive zu U gehörige Zahl. |
Hey,
ich hab schon wieder ein paar Probleme... :-/
ich wär an die Aufgabe auch so ran gegangen, dass ich alle drei Untergruppenkriterien beweise.
also:
1) U /not= [mm] \emptyset, [/mm] da n /ge 0 und somit 0 [mm] \in [/mm] U.
2) [mm] n_{1},n_{2} \in [/mm] U => [mm] \underbrace{n_{1} + n_{2}}_{n_{1} + n_{2}\in \IZ} \in [/mm] U.
3) n [mm] \in [/mm] U [mm] \exists [/mm] -n [mm] \in [/mm] U
n + (-n) = 0
=> 0 [mm] \in [/mm] U.
aber irgendwie passt das nich ganz zur Aufgabenstellung oder?
jedoch hab ich grad überhaupt keine Idee.. :-(
Gruß
Maren
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> Beweisen Sie, dass sich die Gruppe [mm]\IZ[/mm] da ganz anders
> verhält, indem sogar folgendes richtig ist: Zu jeder
> Untergruppe U [mm]\subset \IZ[/mm] gibt es eine eindeutige Zahl n
> [mm]\in \IZ[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 0 und U = <n>.
>
> Bemerkungen: In diesem Sinne kennt man also die Untergruppe
> von [mm]\IZ[/mm] ganz explizit! - Denken Sie, um die Aufgabe zu
> lösen, vor allem an die kleinste positive zu U gehörige
> Zahl.
>
> ich wär an die Aufgabe auch so ran gegangen, dass ich alle
> drei Untergruppenkriterien beweise.
>
> aber irgendwie passt das nich ganz zur Aufgabenstellung
> oder?
Hallo,
Du hast richtig erkannt, daß das nicht zur Aufgabenstellung paßt.
Es steht in dieser Aufgabe die Untergruppeneigenschaft überhaupt nicht infrage, weder für U noch für <n>.
U ist eine Untergruppe, weil's als Untergruppe vorausgesetzt ist,
und <n> ist in meiner Lesart per definitionem eine Untergruppe, in Deiner Lesart, weil Du's gezeigt hast in der ersten Aufgabe.
Worum es hier geht:
zu jeder beliebigen Untergruppe von [mm] \IZ [/mm] findest Du ein Element n, welches diese Untergruppe erzeugt.
Ziehst Du die erste Teilaufgabe hinzu, so sagt das:
jede Untergruppe von [mm] \IZ [/mm] hat die Gestalt [mm] \{kn | k \in \IZ \} [/mm] für ein n [mm] \in \IN [/mm] (Du hast zwar [mm] \in \IZ [/mm] geschrieben, aber es ist [mm] \IN [/mm] gemeint, oder)
Das bedeutet: die Untergruppen von [mm] \IZ [/mm] sind genau die Mengen, die jeweils sämtliche ganzzahligen Vielfachen einer nat. Zahl enthalten.
Konsequenz: [mm] \IZ [/mm] ist Untergruppe von sich selbst, also gilt das auch für [mm] \IZ, [/mm] d.h. [mm] \IZ [/mm] wird von einem Element erzeugt.
(Und an dieser Stelle siehst Du einen großen Unterschied zu [mm] \IQ, [/mm] denn Du solltest ja bei der ersten Aufgabe beweisen, daß [mm] \IQ [/mm] genau diese Eigenschaft nicht hat.)
Für die Lösung der Aufgabe solltest Du den Tip
> Denken Sie, um die Aufgabe zu lösen, vor allem an die kleinste positive zu U gehörige Zahl.
beherzen.
Zeig zunächst, daß die Menge aller Vielfachen dieser Zahl [mm] \subseteq [/mm] U ist.
Dann ist zu zeigen, daß U [mm] \subseteq \{kn|...\} [/mm] gilt.
Das würde ich mit Widerspruch machen. Ein Element aus U nehmen, welches kein Vielfaches von n ist, es darstellen als Vielfaches von n plus einem Rest, und das zum Widerspruch führen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 So 06.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
> jede Untergruppe von [mm]\IZ[/mm] hat die Gestalt [mm]\{kn | k \in \IZ \}[/mm]
> für ein n [mm]\in \IN[/mm] (Du hast zwar [mm]\in \IZ[/mm] geschrieben, aber
> es ist [mm]\IN[/mm] gemeint, oder)
nein ich hab mich nich verschrieben, in der Aufgabenstellung steht n [mm] \in \IZ, [/mm] jedoch soll n [mm] \ge [/mm] 0 sein, also kommt's ja auf's gleiche raus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
ups.. wollt eigentlich ne Frage stellen ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
ach hab ich dann also in der ersten Aufgabe bewiesen, dass <x> = {kx | k [mm] \in \IZ} [/mm] in jeder Gruppe eine Untergruppe darstellt und nicht nur im [mm] \IQ [/mm] ?
und in dieser Aufgabe soll ich jetzt beweisen, dass jede Untergruppe von [mm] \IZ [/mm] durch <n> = {kn | k [mm] \in \IZ} [/mm] (mit n [mm] \in \IZ, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 0 ) erzeugt wird?
also sind alle Elemente der einzelnen Untergruppen ein k-faches von n. (weiß nich wie ich es anders ausdrücken soll, also z.B. wäre <2> = {...,-6,-4,-2,0,2,4,6,...} eine Untergruppe von [mm] \IZ [/mm] mit n=2 ?)
deshalb lässt sich n auch genau bestimmen, da es sich durch jedes Element der Untergruppe restlos diffidieren lässt.
somit wäre die Zahl 1 die kleinste Zahl mit der sich [mm] \IZ [/mm] erzeugen lässt.
jetzt soll ich "nur" noch beweisen, wieso diese Zahl genau bestimmbar ist, hab ich damit zumindest so ungefähr das Ziel der Aufgabe getroffen?
wenn ja, wie fang ich denn da an..
muss ich dann wieder zeigen, dass <n> = U [mm] \subset [/mm] {kn | k [mm] \in \IZ [/mm] } und {kn | k [mm] \in \IZ [/mm] } [mm] \subset [/mm] <n> = U ?? aber das wäre ja genau das gleiche wie in Aufgabe 1..
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> ach hab ich dann also in der ersten Aufgabe bewiesen, dass
> <x> = {kx | k [mm] \in \IZ\} [/mm] in jeder Gruppe eine Untergruppe
> darstellt und nicht nur im [mm]\IQ[/mm] ?
Hallo,
da ja ausdrücklich dastand, daß [mm] x\in \IQ [/mm] hast Du "eigentlich" nur bewiesen, daß die kleinste Untergruppe von [mm] \IQ, [/mm] welche x enthält, genau aus den ganzzahligen Vielfachen von x besteht.
Aber das gilt für alle (additiven) Gruppen. Wenn G eine Gruppe ist, [mm] x\in [/mm] G, dann ist die kleinste Untergruppe, welche x enthält, also <x> , gerade {kx | k [mm] \in \IZ\}. [/mm] (Weil das so ist, ist schachuzipus nicht davon ausgegangen, daß das zu zeigen ist.)
>
> und in dieser Aufgabe soll ich jetzt beweisen, dass jede
> Untergruppe von [mm]\IZ[/mm] durch <n> = {kn | k [mm] \in \IZ} [/mm] (mit n [mm]\in \IZ,[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] 0 ) erzeugt wird?
Genau. Das ist ja schon eine Besondrheit und nicht von vornherein klar.
> also sind alle Elemente der einzelnen Untergruppen ein
> k-faches von n. (weiß nich wie ich es anders ausdrücken
> soll, also z.B. wäre <2> = {...,-6,-4,-2,0,2,4,6,...} eine
> Untergruppe von [mm]\IZ[/mm] mit n=2 ?)
Ja.
> deshalb lässt sich n auch genau bestimmen, da es sich
> durch jedes Element der Untergruppe restlos diffidieren
> lässt.
Das verstehe ich nicht.
> somit wäre die Zahl 1 die [s]kleinste[/] Zahl mit der sich [mm]\IZ[/mm]
> erzeugen lässt.
Es ist die einzige natürliche Zahl, mit der man das machen kann.
> jetzt soll ich "nur" noch beweisen, wieso diese Zahl genau
> bestimmbar ist, hab ich damit zumindest so ungefähr das
> Ziel der Aufgabe getroffen?
So ungefähr.
Du beweist: wenn Du eine Untergruppe von [mm] \IZ [/mm] hast, findest Du darin eine Zahl, mit der Du sie erzeugen kannst.
Irgendwo hatte ich angedeutet, wie man das macht.
Ich hab's gefunden:
"Für die Lösung der Aufgabe solltest Du den Tip
> Denken Sie, um die Aufgabe zu lösen, vor allem an die kleinste positive zu U gehörige Zahl.
beherzen.
Zeig zunächst, daß die Menge aller Vielfachen dieser Zahl $ [mm] \subseteq [/mm] $ U ist.
Dann ist zu zeigen, daß U $ [mm] \subseteq \{kn|...\} [/mm] $ gilt.
Das würde ich mit Widerspruch machen. Ein Element aus U nehmen, welches kein Vielfaches von n ist, es darstellen als Vielfaches von n plus einem Rest, und das zum Widerspruch führen."
Fang so an:
Sei U irgendeine Untergruppe von [mm] \IZ [/mm] und sei n die kleinste positive Zahl in U.
Zunachst zeigst Du, daß
[mm] \{kn|...\} \subseteq [/mm] U.
Du weißt ja aus Teil 1 der Aufgabe, daß [mm] \{kn|...\}= [/mm] gilt.
<n> ist der Durchschnitt aller Untergruppen, die n enthalten.
U enthält n.
Also ist <n> [mm] \subseteq [/mm] U.
Damit hast Du die erste Inklusion bereits.
Nun kommt
U [mm] \subseteq \{kn|...\}[, [/mm]
das mach per Widerspruch, wie oben beschrieben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
ok, ich glaub jetzt versteh ich die Aufgabenstellung erst ^^
nur hätt ich da ne noch ne (letzte) Frage wegen dem Widerspruch.
also ich würd da dann so anfangen:
Sei U irgend eine Untergruppe von [mm] \IZ. [/mm] und m [mm] \in [/mm] U : n teilt nicht m.
also m = k*n + r , k [mm] \in \IZ [/mm] und r [mm] \in \IN.
[/mm]
wenn ich das ganze jetzt umstelle steht da ja n = [mm] \bruch{m - r}{k}.
[/mm]
aber damit hab ich ja eigentlich nix gewonnen, nur dass n eventuell eine rationale Zahl ist.. das wäre aber ein Widerspruch. hab ich damit dann bewiesen, dass U [mm] \subseteq [/mm] <n> ?
nochmals vielen Dank für deine Mühe mir das alles beizubringen!
Gruß Maren
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> ok, ich glaub jetzt versteh ich die Aufgabenstellung erst
> ^^
> nur hätt ich da ne noch ne (letzte) Frage wegen dem
> Widerspruch.
> also ich würd da dann so anfangen:
> Sei U irgend eine Untergruppe von [mm]\IZ.
Sei n die kleinste positive Zahl in U.
Angenommen, es gibt ein
> [/mm] und m [mm]\in[/mm] U : n
> teilt nicht m.
> also m = k*n + r , k [mm]\in \IZ[/mm] und r [mm]\in \IN.[/mm]
mit 0<r<n
Du weißt, daß mit n auch jedes ganzzahlige) Vielfache von n in U ist, also ist-kn [mm] \in [/mm] U.
Weil U Untergruppe, ist auch m +(-kn)= k*n + r +(-kn) =... [mm] \in [/mm] U.
Denke nun daran, daß n als das kleinste positive Element aus U gewählt war, und betrachte k*n + r +(-kn) =... [mm] \in [/mm] U kritisch.
Da sollte Dir ein Widerspruch auffallen.
Und wenn sich ein Widerspruch ergibt, kann es nicht sein, daß in der Untergruppe U ein Element ist, welches kein Vielfaches von n ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
achso, da ja m + (-kn) = kn + r + (-kn) = r [mm] \in [/mm] U ist jedoch vorher 0<r<n definiert wurde, wäre r ja kleiner als n und r damit das kleinste Element in U. das ist aber ein Widerspruch, da n das kleinste Element in U ist.
hab ich's jetzt?
liebsten Dank
Maren
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> achso, da ja m + (-kn) = kn + r + (-kn) = r [mm]\in[/mm] U ist
> jedoch vorher 0<r<n definiert wurde,
Hier wäre eine Stelle, an der man eventuell noch nachdenken müßte, ich gehe aber eigentlich davon aus, daß Ihr hattet, daß man jede ganze Zahl schreiben kann mit so einem Rest, so daß Du nur noch hinschreiben mußt "m kann man darstellen als m=...".
> wäre r ja kleiner als
> n und r damit das kleinste Element in U. das ist aber ein
> Widerspruch, da n das kleinste Element in U ist.
> hab ich's jetzt?
Ja, jetzt hast Du es.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
man, das war ja ne harte Geburt ^^
mir bleibt nur, dir nochmals zu danken, dass du so viel Zeit für mich geopfert hast, und vielen Dank, dass du dir so viel Mühe gegeben hast!
Lieber Gruß Maren
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Di 08.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
hey, ich bin's nochmal..
sorry, aber ich hab da doch noch ne kleine Frage..
> ...Zunachst zeigst Du, daß {kn|...} [mm] \in [/mm] U.
> Du weißt ja aus Teil 1 der Aufgabe, daß {kn|...}=<n> gilt.
> <n> ist der Durchschnitt aller Untergruppen, die n enthalten. Also ist <n> [mm] \subseteq \IZ.
[/mm]
>Damit hast Du die erste Inklusion bereits.
>Nun kommt [mm] {kn|...}\subset [/mm] U, ...
wenn ich gezeigt habe dass {kn|...} [mm] \in [/mm] U hab ich damit nich schon bewiesen dass {kn|...} [mm] \subset [/mm] U?
oder war das {kn|...} [mm] \in [/mm] U ein tippfehler und da sollte eigentlich {kn|...} [mm] \supset [/mm] U stehen?? dann hätten sich bei mir nämlich wirklich alle Fragen geklärt
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Hallo,
allmählich wird die Sache unübersichtlich und ich offensichtlich wirr.
Ich habe die Antwort, auf die Du Dich beziehst etwas bearbeitet.
Da die Farben nicht so wollten wie ich, habe ich geänderte Stellen etwas eingerückt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Di 08.05.2007 | | Autor: | Maren88 |
bei deiner überarbeiteten Version steht genau das, was ich meinte -> ich hab's endlich richtig verstanden! kannst dir gar nich vorstellen wie mega glücklich ich jetzt bin
Danke!
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