Erzeugendensystem von S5 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:21 Sa 09.06.2007 | | Autor: | julia.k |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie, ob die Gruppe S5 von den beiden Permutationen (1 2 3 4) und (4 5) erzeugt wird. |
Hallo!
Ich habe jetzt folgende mögliche Ansätze im Kopf:
- Da S5 aus 120 Elementen besteht, ist die Auflistung der Elemente von S5 sowie der von den beiden Permutationen erzeugten Elemente zu mühsam
- ich finde ein Element in S5, das ich durch die beiden Permutationen definitiv nicht erzeugen kann. Mein Problem: ich schaffe nur wenige Elemente, die ich erzeugen kann, beispielsweise weiß ich nicht, ob ich (1 2) daraus erzeugen kann, doch nur, weil ich das nicht schaffe, heißt es noch nicht, dass das nicht geht.
- Wenn man zeigen könnte, dass |<(1234), (45)>| [mm] \not= [/mm] 120, wäre das die Lösung. Aber gibt es überhaupt die Möglichkeit, die Ordnung so eines Erzeugendensystems zu bestimmen?
Also so wirklich komme ich leider nicht weiter... Denn vielleicht wird ja S5 tatsächlich von den beiden Permutationen erzeugt, dann nutzen meine Ansätze nichts.
Hat jemand eine Idee?
LG Julia
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Hallo Julia! Wenn ich deine Notationen richtig verstehe, d.h: (4,5) bedeutet,dass das vierte und fünfte Element getauscht werden und (1,2,3,4) bedeutet einen zyklischen Tausch der vier ersten Elemente, dann gelingt mir auch (3,4) und (2,3) und (1,2) in genau dieser Reihenfolge lässt es sich am leichtesten zeigen! Beweis für (2;3) unter der Vorraussetzung, dass (3,4) schon gezeigt wurde: 12345 > 41235 > 41325 > 24135 > 32415> 13245.... und ich glaube, hieraus kann man leicht ersehen, dass jeder Päärchentausch klappt, was, wenn ich mich recht erinnere hinreichend für die Erzeugung sein sollte... Gute Nacht!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mo 11.06.2007 | | Autor: | julia.k |
Hallo Regina!!
Erstmal schon danke für deine Hilfe. Aber leider komme ich nicht klar damit.
Also (1 2 3 4 ) bedeutet tatsächlich, dass die 1 auf die 2, die 2 auf die 3, ... die 4 auf die 1 abgebildet wird.
Wie gelingt mir dann (3 4)?!
Und selbst wenn ich (3 4) habe, wie kommst du dann auf 12345 > 41235 > ...
Hätte schon probiert, die gegebenen Sachen auf unterschiedlichste Weise zu verknüpfen, aber ich komme nicht drauf.
Den Satz, dass wenn jeder Pärchentausch klappt das ausreichend für die Erzeugung ist, kenne ich nicht, aber ich werde bei meinen Mitstudenten noch mal nachfragen. Kann gut sein, dass ich der in der Vorlesung mal an mir vorbei gegangen ist...
Ganz liebe Grüße!
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Hallo Julia! Sorry, dass ich mich erst jetzt melde, aber ich bin nich so oft im Netz! Vielleicht waren meine Schreibweisen so, dass du sie anders verstanden hast, als ich dachte? Bestimmt hast dus jetzt schon raus, wenn doch nicht: Neuer Versuch: Mit u=(4;5), v=(3;4), w(2;3) und t = (1;2;3;4), als Permutationen gemeint gilt:
t°t°t°v°t=w, das wollte ich sagen und die von mir aufgeführte Folge sollte weniger die Abbildungen als den Effekt darstellen, den diese auf den 5-Tupel 12345 ausüben.... Viele Grüße, Regina!
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