Erzeugende der Diedergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:13 Do 07.07.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
ich beschäftige mich derzeit in meiner Freizeit rein interessehalber mit der Gruppentheorie. In den letzten Wochen sind mir immer wieder Aufgaben rund um Diedergruppen untergekommen. Dabei stellt sich mir das Problem, dass ich irgendwie noch nicht so ganz hinter das Prinzip gekommen bin, wie man die einzelnen Elemente der durch X, Y mit
[mm] X^{n}=Y^2=1
[/mm]
[mm] YX=X^{n-1}Y
[/mm]
erzeugten Diedergruppe mit den entsprechenden Abbildungsmatrizen aus [mm] GL(2,\IR) [/mm] identifiziert. Daher meine Frage, ob jemand meine derzeitige Idee zu der Sache mal überprüfen und korrigieren oder bestätigen könnte:
Die Diedergruppe wird durch zwei Elemente X und Y erzeugt, wobei X eine Drehung um eine Eckenzahl m mit ggt(m,n)=1 (n: Eckenzahl des Dieders) und y eine beliebige der n möglichen Spiegelungen ist.
Vielen Dank im Voraus für jede Antwort.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:17 Do 07.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Diophant,
> ich beschäftige mich derzeit in meiner Freizeit rein
> interessehalber mit der Gruppentheorie. In den letzten
> Wochen sind mir immer wieder Aufgaben rund um Diedergruppen
> untergekommen. Dabei stellt sich mir das Problem, dass ich
> irgendwie noch nicht so ganz hinter das Prinzip gekommen
> bin, wie man die einzelnen Elemente der durch X, Y mit
>
> [mm]X^{n}=Y^2=1[/mm]
> [mm]YX=X^{n-1}Y[/mm]
>
> erzeugten Diedergruppe mit den entsprechenden
> Abbildungsmatrizen aus [mm]GL(2,\IR)[/mm] identifiziert. Daher meine
> Frage, ob jemand meine derzeitige Idee zu der Sache mal
> überprüfen und korrigieren oder bestätigen könnte:
>
> Die Diedergruppe wird durch zwei Elemente X und Y erzeugt,
> wobei X eine Drehung um eine Eckenzahl m mit ggt(m,n)=1 (n:
> Eckenzahl des Dieders) und y eine beliebige der n
> möglichen Spiegelungen ist.
die Aussage ist korrekt.
Das kann man sich auch so ueberlegen: beide Elemente liegen in der Diedergruppe. Die davon erzeugte Untergruppe umfasst ein Element der Ordnung $n$, da $X$ wegen $ggT(n, m) = 1$ die Ordnung $n$ hat. (Es ist die $m$-te Potenz eines Elements der Ordnung $n$, und die Ordnung davon ist immer [mm] $\frac{n}{ggT(n, m)}$. [/mm] Das gilt ganz allgemein in Gruppen.)
Weiterhin ist $Y$ nicht in dieser zyklischen Untergruppe: eine Spiegelung kann man nicht als $k$-te Potenz von irgendwelchen Drehungen schreiben. (Die Determinante einer Spiegelung ist -1, die von Drehungen immer 1.)
Deswegen hat die Untergruppe mehr als $n$ Elemente, nach Lagrange muss sie aber $2 n$ (die Gruppenordnung) teilen. Der groesste nicht-triviale Teiler von $2 n$ ist aber [mm] $\frac{2 n}{2} [/mm] = n$, womit die Ordnung der Untergruppe bereits $2 n$ sein muss und die Untergruppe somit die ganze Gruppe.
Also erzeugen die beiden Matrizen die Diedergruppe.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 Do 07.07.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo Felix,
danke für deine Antwort, jetzt ist mir das alles nochmal viel klarer geworden.
Deine Gedankengänge sind ja nicht schwer nachvollziehbar, aber es stellt sich mal wieder heraus: auf dem Papier sieht Algebra immer so einfach aus, aber sich die dahinterstehende Denkweise zu erarbeiten, das ist eben doch ein längerer Weg. 
LG & schönen Tag, Diophant
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