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| Aufgabe | In einer Fabrik zur Produktion von TFT-Bildschirmen (Auflösung: N = 1024 × 768 Pixel) hat sich herausgestellt, daß ein einzelnes Pixel mit einer Wahrscheinlichkeit von 10−6
fehlerhaft ist. Ferner hat sich ergeben, daß kein kausaler Zusammenhang zwischen der
Fehlerhaftigkeit verschiedener Pixel eines Bildschirms erkennbar ist.
Die Zufallsvariable Xi (i = 1, . . . , N ) bezieht sich auf das i-te Pixel. Sie liefert den Wert 1, wenn das i-te Pixel fehlerhaft ist, ansonsten den Wert 0. Die Zufallsvariable Z zählt alle defekten Pixel eines Bildschirms.
a) Berechne E(Xi ) und V (Xi ).
b) Berechne E(Z ) und V (Z ).
c) Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse (es genügt, die jeweils
korrekte Berechnungsformel anzugeben):
i) kein defektes Pixel
ii) ein defektes Pixel
iii) zwei defekte Pixel
iv) höchstens zwei defekte Pixel
v) höchstens drei defekte Pixel
d) Schätze die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse höchstens zwei defekte Pixel
und höchstens drei defekte Pixel mit Hilfe der Ungleichung von Chebychev.
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Hallo,
ich bräuchte bei obiger Aufgabe eine Hilfestellung. Wenn ich das richtig verstanden habe, hat jedes Pixel eine Wahrscheinlichkeit von 10^-6 defekt zu sein. Wenn ich die Zufallsvariablen belegen will, heisst das, dass ich 1024 * 786 belegen muss? Ansonsten ist es ja klar: Ist das Pixel defekt ist die jeweilige Zufallsvariable 1, ist es in Ordnung ist sie 0. Wie aber kann ich den Erwartungswert für E(Xi) aufsummieren, ich meine 1024 * 786 ist eine ganz schön große Zahl?
Für Eure Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße
Markus
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Hi, Franke,
> In einer Fabrik zur Produktion von TFT-Bildschirmen
> (Auflösung: N = 1024 × 768 Pixel) hat sich herausgestellt,
> daß ein einzelnes Pixel mit einer Wahrscheinlichkeit von
> 10−6
> fehlerhaft ist. Ferner hat sich ergeben, daß kein kausaler
> Zusammenhang zwischen der
> Fehlerhaftigkeit verschiedener Pixel eines Bildschirms
> erkennbar ist.
>
> Die Zufallsvariable Xi (i = 1, . . . , N ) bezieht sich auf
> das i-te Pixel. Sie liefert den Wert 1, wenn das i-te Pixel
> fehlerhaft ist, ansonsten den Wert 0. Die Zufallsvariable Z
> zählt alle defekten Pixel eines Bildschirms.
>
> a) Berechne E(Xi ) und V (Xi ).
>
> b) Berechne E(Z ) und V (Z ).
>
> c) Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden
> Ereignisse (es genügt, die jeweils
> korrekte Berechnungsformel anzugeben):
>
> i) kein defektes Pixel
> ii) ein defektes Pixel
> iii) zwei defekte Pixel
> iv) höchstens zwei defekte Pixel
> v) höchstens drei defekte Pixel
>
> d) Schätze die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
> höchstens zwei defekte Pixel
> und höchstens drei defekte Pixel mit Hilfe der
> Ungleichung von Chebychev.
> ich bräuchte bei obiger Aufgabe eine Hilfestellung. Wenn
> ich das richtig verstanden habe, hat jedes Pixel eine
> Wahrscheinlichkeit von 10^-6 defekt zu sein. Wenn ich die
> Zufallsvariablen belegen will, heisst das, dass ich 1024 *
> 786 belegen muss? Ansonsten ist es ja klar: Ist das Pixel
> defekt ist die jeweilige Zufallsvariable 1, ist es in
> Ordnung ist sie 0. Wie aber kann ich den Erwartungswert für
> E(Xi) aufsummieren, ich meine 1024 * 786 ist eine ganz
> schön große Zahl?
Offensichtlich handelt es sich hierbei ja um eine Anwendung der Binomialverteilung (worauf auf die Zufallsvariable 1 (=Treffer) und 0 (=Niete) hinweist.
Wenn die Wahrscheinlichkeit für ein kaputtes Pixel p=0,000001 ist,
ist diejenige für "Pixel OK" natürlich: q=1 - 0,000001 = 0,999999.
Für eine B-Verteilung gilt: E(X) = n*p; V(X) = npq
Aufgabe b) ist dann leicht: E(Z) = 1024*768*0,000001 = 0,786.
(Im Schnitt ist etwas weniger als 1 Pixel defekt)
V(Z) = 1024*768*0,000001*0,999999 = 0,786 (praktisch dasselbe)
Bei a) bin ich mir nicht ganz sicher, aber ich vermute, Du musst einfach mit n=1 rechnen.
Bei c) wirst Du wohl mit einer Näherungsformel rechnen müssen!
(Welche sind Dir denn bekannt?)
Naja - und bei d) steht ja schon da, dass Du die Tschebyschw-Ungleichung hernehmen sollst!
mfG!
Zwerglein
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Hallo Zwerglein,
erst mal Danke für die Hilfe!
zu a) Da hast Du richtig vermutet. Hieße das dann für das Ergebnis, dass sich ein Erwartungswert E(Xi) = 1 * 0,000001 = 0,000001 = 1 * 10 ^-6 % ergibt und eine Varianz V(Xi)= 1 * 0,000001 * 0,999999 = 1 * 10 ^-6 % ?
Bei Deiner Frage nach den Näherungsformeln muss ich Dir leider sagen, dass ich gar keine kenne. Ich war zwar immer in der Vorlesung, aber nach nochmaligem Durchforsten meiner Unterlagen kann ich nur sagen, dass da nichts steht. Das Gleiche gilt für die "Ungleichung von Chebychev". Aber die kann ich wenigstens in suchen und hoffen, dass ich ad hoc etwas mit ihr anfangen kann.
Viele Grüße
Markus
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Hi, Franke,
> zu a) Da hast Du richtig vermutet. Hieße das dann für das
> Ergebnis, dass sich ein Erwartungswert E(Xi) = 1 * 0,000001
> = 0,000001 = 1 * 10 ^-6 % ergibt und eine Varianz V(Xi)= 1
> * 0,000001 * 0,999999 = 1 * 10 ^-6 % ?
Fast! Du musst nur das % weglassen: So klein sind die Werte dann auch wieder nicht 
> Bei Deiner Frage nach den Näherungsformeln muss ich Dir
> leider sagen, dass ich gar keine kenne. Ich war zwar immer
> in der Vorlesung, aber nach nochmaligem Durchforsten meiner
> Unterlagen kann ich nur sagen, dass da nichts steht. Das
> Gleiche gilt für die "Ungleichung von Chebychev". Aber die
> kann ich wenigstens in suchen und hoffen, dass ich ad hoc
> etwas mit ihr anfangen kann.
Also: Bei der Tschebyschoff-Ungleichung kann ich Dir dann schon weiterhelfen!
Aber bei Aufgabe c) ist vermutlich die Poisson-Verteilung nötig - und damit kenne ich mich leider gar nicht aus!
Probier's doch mal mit einem "Hilfeschrei" an Loddar!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:52 Do 29.11.2007 | | Autor: | Der.Franke |
Hallo Zwerglein,
danke für die angebotene Hilfe bei der Tschebyschoff-Ungleichung; die nehme ich gerne an! Dazu müsste ich aber zuerst die Aufgabe c) gelöst haben, oder? Wie kriege ich solch einen "Hilfeschrei" hin?
Vielen Dank. Gruß Markus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Do 29.11.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Markus,
> danke für die angebotene Hilfe bei der
> Tschebyschoff-Ungleichung; die nehme ich gerne an! Dazu
> müsste ich aber zuerst die Aufgabe c) gelöst haben, oder?
Ich denke: Ja!
> Wie kriege ich solch einen "Hilfeschrei" hin?
1. Möglichkeit: Du schreibst einfach als Überschrift Deiner Frage "Hilfe, Loddar!"
2.Möglichkeit: Du kontaktierst ihn direkt, indem du ihm eine "private Nachricht" schreibst. Dazu musst Du zunächst hier klicken:
https://matheraum.de/profile?user=Loddar
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:03 Do 29.11.2007 | | Autor: | Der.Franke |
Die Teilaufgabe c) aus oben aufgeführter Aufgabe muss mittels Poisson-Verteilung gelöst werden. Mir fehlt aber dazu jeglicher Ansatz. Teil a) und b) sind bereits gelöst. Kann mir bitte jemand helfen?
Danke Markus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Do 29.11.2007 | | Autor: | Loddar |
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... bleib' bei Deinen Leisten!
Hallo Markus!
Auf diesem Fachgebiet der Mathewelt herrscht bei mir leider Wüste vor, so dass ich Dir hier nicht weiterhelfen kann. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 Do 29.11.2007 | | Autor: | Der.Franke |
Na ja, einen Versuch wars wert
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> Wie aber kann ich den Erwartungswert für
> E(Xi) aufsummieren, ich meine 1024 * 786 ist eine ganz
> schön große Zahl?
1024 * 786 kann man ausrechnen. Das ist 804864.
Und [mm] 10^{-6} [/mm] kann man ebenfalls ausrechnen. Das ist 1:1000000
(Pro eine Million Pixel kommt es durchschinittlich zu einem Fehler).
Da die Anzahl der Pixel kleiner ist als eine Million, dürfte es erwartungsgemäß zu einem (oder eventuell auch zu gar keinem) Fehler-Pixel kommen.
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Hi, Markus,
also, ich hab' mich mal ein bissl kundig gemacht, u.a. hier:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung
und glaube (!) nun, das geht so:
Die Poisson-Verteilung ist als Näherung für die Binomialverteilung geeignet, wenn n sehr groß und p sehr klein ist.
(Beides trifft auf Dein Beispiel zu!)
Dann gilt:
B(n;p;k) = P(X=k) [mm] \approx \bruch{\lambda ^{k}}{k!}*e^{-\lambda},
[/mm]
wobei [mm] \lambda [/mm] = np ist (also der Erwartungswert!)
Bei uns war ja [mm] \lambda [/mm] = 0,786
(was Du bitte nochmals überprüfst!)
und somit ist z.B.
c) (i) P(X=0) [mm] \approx e^{-0,786} \approx [/mm] 0,456
oder
(iii) P(X=2) [mm] \approx \bruch{0,768^{2}}{2}*e^{-0,786} \approx [/mm] 0,141
Nun mach' mal selbst weiter!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Do 29.11.2007 | | Autor: | Der.Franke |
Hallo Zwerglein,
vielen Dank für die Mühen. Also den Erwartungswert habe ich nochmals nachgerechnet und den Rest der Teilaufgabe c) auch.
E(X) liegt wie gehabt bei 0,786
i) hast Du ausgerechnet und liegt bei P(X=0) = [mm] e^{-0,786} [/mm] = 0,456
ii) liegt nach meinen Berechnungen bei P(X=1) = [mm] \bruch{0,768^{1}}{1!}\cdot{}e^{-0,786} [/mm] = 0,359
iii) hast Du ausgerechnet mit P(X=2) = [mm] \bruch{0,768^{2}}{2!}\cdot{}e^{-0,786} [/mm] = 0,141
iv) höchstens zwei defekte Pixel ist dann P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0,456 + 0,359 + 0,141 = 0,956
v) ist [mm] \bruch{0,768^{3}}{3!}\cdot{}e^{-0,786} [/mm] = 0,037 und damit ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens drei Pixel: 0,456 + 0,359 + 0,141 + 0,037 = 0,993
Richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Do 29.11.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Markus,
ich denke, so stimmt's!
Und nun an die Tschebyschow-Ungleichung!
In unserem Fall wir sie wohl in der Form
P(|X-E(X)| [mm] \le [/mm] a) > 1 - [mm] \bruch{V(X)}{a^{2}}
[/mm]
gebraucht!
mfG!
Zwerglein
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Hallo Zwerglein,
auf die Gefahr hin, dass Du mich für völlig doof hältst, aber ich kann mit der Formel im Moment gar nichts anfangen. Tut mir echt leid. Kannst Du sie mir bitte erklären?
Gruß Markus
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Hi, Markus,
über die Herleitung der Formel mach Dich bitte selbst schlau!
In ihrer "1.Fassung" lautet sie:
P(|X-E(X)| [mm] \ge [/mm] a) [mm] \le \bruch{V(X)}{a^{2}}
[/mm]
In Worten bedeutet das etwa: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallswerte um mehr als einen vorgegebenen Wert a vom Erwartungswert abweichen, beträgt höchstens [mm] \bruch{V(X)}{a^{2}}.
[/mm]
Eine der Umformungen - nämlich die, die wir brauchen - habe ich Dir in meiner gestrigen Mitteilung gegeben.
Was ist bei uns z.B. |X-E(X)| [mm] \le [/mm] 2, also: |X - 0,786| [mm] \le [/mm] 2?
Naja: 0,786-2 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 0,786+2 oder -1,214 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 2,768.
Da Zufallswerte nur ganzzahlig sein können, beinhaltet diese Ungleichung die Zufallswerte 0; 1; 2: Genau die, die wir laut Aufgabenstellung berücksichtigen sollen.
Du kannst natürlich mit dem Wert von a (Ich hab' jetzt mal a=2 gewählt) noch ein bissl "spielen" - das verbessert wohl die Abschätzung. Aber ich rechne Dir das jetzt mal für a=2 vor:
P(|X-0,786| [mm] \le [/mm] 2) > 1 - [mm] \bruch{0,786}{2^{2}} [/mm] = 0,8035
Die Aussage lautet also: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 2 Pixel defekt sind, ist größer als 80%
(Was richtig ist, wie Du am Ergebnis von c) siehst. Aber andererseits verdeutlicht es auch, wie ungenau die Tsch.Ungl. meist ist.
Aber versuch mal, durch geschicktes Verändern von a "näher" an den tatsächlichen Wert ranzukommen!)
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:25 Mo 03.12.2007 | | Autor: | Der.Franke |
Hallo Zwerglein,
ich habs jetzt verstanden. Vielen Dank für die Hilfe und die Geduld.
Gruß Markus
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