Erwartungswert einer Dichte < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:36 Mo 19.04.2010 | | Autor: | chris3 |
Hallo Leute!
Wie man den Erwartungswert einer Zufallsvariablen X mit Dichte f(x) berechnet, ist mir klar!
Ich frage mich jetzt nun, ob es möglich ist, den Erwartungswert von f(X) zu berechnen, also speziell den Erwartungswert einer DICHTE??
Danke für eure Hilfe!
LG Chris
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Mo 19.04.2010 | | Autor: | gfm |
Ja klar kann man E(f(X)) ausrechnen. Das ist dann
[mm] \integral_{X(\Omega)}f(x)^2dx [/mm] oder auch
[mm] \integral_{X(\Omega)}F'(x)dF(x)
[/mm]
Wozu brauchst Du das?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 Mo 19.04.2010 | | Autor: | gfm |
"Der Erwartungswert einer Dichte",
damit ist der Erwartungswert der zur Dichte gehörigen Zufallsvariable gemeint.
Also nicht das, was ich hingeschrieben habe, sondern einfach nur
[mm] \integral_{X(\Omega)}f(x)dx
[/mm]
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 Mo 19.04.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo gfm,
meinst du hier nicht:
[mm]\integral_{X(\Omega)}x*f(x)dx[/mm] ?
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Mo 19.04.2010 | | Autor: | gfm |
Ja, natürlich. Danke!
LG
gfm
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Mo 19.04.2010 | | Autor: | chris3 |
hmmm, also gibt es den "Erwartungswert einer Dichte" jetzt doch nicht?
..bin jetzt etwas verwirrt... hoffe, ihr könnt mir nochmal helfen!
Danke schonmal
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doch doch,
das war alles korrekt. Die Definition des Erwartungswerts ist doch aber eben [mm] \integral{x*f(x)dx} [/mm] ich glaube das hat er einfach vergessen :)
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Mo 19.04.2010 | | Autor: | chris3 |
ah, ok!
Also, ist Erwartungswert einer Funktion f(x) dasselbe wie der Erwartungswert einer Zufallsvariablen X mit Dichte f(x)???
Das kann ich mir absolut nicht vorstellen, die erste Definition mit
[mm] \integral_{}^{}{f(x)f(x) dx} [/mm] fand ich sehr logisch!!??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:53 Mo 19.04.2010 | | Autor: | gfm |
Wenn bei einer Beobachtung N Werte [mm] x_i [/mm] gewonnen wurden und man nun einen Wert x sucht, so daß die Summe der quadratischen Abweigung der [mm] x_i [/mm] von diesem Wert minimal wird, muss man
[mm] S(x):=\summe_{i}(x-x_i)^2 [/mm] minimieren.
Notwendig hierfür ist [mm] 0=S'(x)=2\summe_i (x-x_i)=2(Nx-\summe_i x_i)
[/mm]
oder x [mm] =\frac{1}{N}\summe_i x_i
[/mm]
Wenn nun die [mm] x_i [/mm] (wegen Gleichheit) in k Klassen eingeteilt werden können, wobei die k-te Klasse zum Wert [mm] x_k [/mm] gehört der [mm] N_k [/mm] mal auftritt, kann man weiterschreiben
x [mm] =\summe_k x_k \frac{N_k}{N}=\summe_k x_k h_k
[/mm]
mit der relativen Häufigkeit [mm] h_k:=\frac{N_k}{N} [/mm] zum Wert [mm] x_k.
[/mm]
Baut man sich mit den [mm] h_k [/mm] eine "Dichte" f(x)
[mm] f(x):=\summe_k h_k 1_{\{x_k\}}(x)
[/mm]
und integriert bezüglich des Zählmaßes zu den [mm] x_k
[/mm]
[mm] Z(B):=\summe_k 1_{B}(x_k); B\subseteq \IR
[/mm]
(Z zählt wieviele der [mm] x_k [/mm] in der Menge B enthalten sind)
dann sieht der Erwartungswert so aus:
[mm] \integral_{\IR}xf(x)dZ(x),
[/mm]
oder wenn man zur Verteilungsfunktions übergeht so:
[mm] \integral_{\IR}xdF(x).
[/mm]
dF(x) ist also die (gegebenenfalls infinitesimale) "Häufigkeit" mit der x realisiert wird.
Für den Fall, dass die [mm] x_i [/mm] kontinuierlich verteilt sind mit einer gegen das Lebesguemaß stetigen Dichte sieht das genauso aus:
[mm] \integral_{\IR}xdF(x)=\integral_{\IR}xf(x)dx
[/mm]
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Mo 19.04.2010 | | Autor: | gfm |
Hat er. 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mo 19.04.2010 | | Autor: | chris3 |
Hallo gfm!
Das ist soweit alles verstanden, aber das hat noch nicht meine letzte Frage beantwortet, ob es nun gar keinen Erwartungswert einer Dichte gibt :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Mo 19.04.2010 | | Autor: | gfm |
Was meinst Du denn mit "gibt"?
Es ist [mm] E(X)=\integral [/mm] xf(x)dx der Erwartungswert der Zufallsvariablen. Statt "Erwartungswert der Zufallsvariablen" spricht man auch vom "Erwartungswert der Dichte", da ZVe in der Praxis oft durch Dichten definiert werden. Da wird dann ZVe und Dichte als Synonym benutzt.
Und klar, [mm] E(f(X))=\integral [/mm] f(x)^2dx als Erwartungswert der in die eigene Dichte eingesetzten Zufallsvariable "gibt" es auch, weil man es aufschreiben und ausrechnen kann (und für quadratintegrable Dichten was Endliches erhält). Mir ist nur a) kein allgemeingültiges (integralfreies) Ergebnis bekannt (es gibt bestimmt auch keines) und b) auch keine signifikante Relevanz in der W-Theorie.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 Di 20.04.2010 | | Autor: | chris3 |
Hallo!
Danke, mit deiner obigen Erklärung hast du meine Frage schon beantwortet 
Vielen Danke für deine Hilfe!!
LG Chris
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